Toán Cho x,y dương thỏa mãn x+y=1.chứng minh : A=1/(x^3+y^3)+1/xy>=4+2√3 15/09/2021 By Melanie Cho x,y dương thỏa mãn x+y=1.chứng minh : A=1/(x^3+y^3)+1/xy>=4+2√3
Giải thích các bước giải: \(\begin{array}{l} \frac{1}{{{x^3} + {y^3}}} + \frac{1}{{xy}} = \frac{{{{(x + y)}^3}}}{{{x^3} + {y^3}}} + \frac{{{{(x + y)}^3}}}{{xy}}\\ = \frac{{{x^3} + {y^3} + 3xy(x + y)}}{{{x^3} + {y^3}}} + \frac{{{x^3} + {y^3} + 3xy(x + y)}}{{xy}}\\ = 1 + \frac{{3xy}}{{{x^3} + {y^3}}} + \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{xy}} + 3 \ge 4 + 2\sqrt {\frac{{3xy}}{{{x^3} + {y^3}}}.\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{xy}}} = 4 + 2\sqrt 3 \end{array}\) Dấu “=” xảy ra ↔\(\begin{array}{l} 3xy = {x^3} + {y^3} \leftrightarrow 3xy = {x^2} + xy + {y^2} \leftrightarrow {(x – y)^2} = 0 \leftrightarrow x = y\\ \end{array}\) mà x+y=1 -> x=y= $\frac{1}{2}$ Trả lời
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{x^3} + {y^3}}} + \frac{1}{{xy}} = \frac{{{{(x + y)}^3}}}{{{x^3} + {y^3}}} + \frac{{{{(x + y)}^3}}}{{xy}}\\
= \frac{{{x^3} + {y^3} + 3xy(x + y)}}{{{x^3} + {y^3}}} + \frac{{{x^3} + {y^3} + 3xy(x + y)}}{{xy}}\\
= 1 + \frac{{3xy}}{{{x^3} + {y^3}}} + \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{xy}} + 3 \ge 4 + 2\sqrt {\frac{{3xy}}{{{x^3} + {y^3}}}.\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{xy}}} = 4 + 2\sqrt 3
\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra
↔\(\begin{array}{l}
3xy = {x^3} + {y^3} \leftrightarrow 3xy = {x^2} + xy + {y^2} \leftrightarrow {(x – y)^2} = 0 \leftrightarrow x = y\\
\end{array}\)
mà x+y=1
-> x=y= $\frac{1}{2}$