Cho x,y là số dương thoả mãn x^2+y^2=1 Tính GTNN của D=1/x +1/y

Question

Cho x,y là số dương thoả mãn x^2+y^2=1
Tính GTNN của D=1/x +1/y

in progress 0
Savannah 3 tuần 2021-11-19T19:25:23+00:00 1 Answers 2 views 0

Answers ( )

    0
    2021-11-19T19:26:35+00:00

    Đáp án:

    $\min D =2\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\dfrac{\sqrt2}{2}$

    Giải thích các bước giải:

    Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

    $\dfrac1x +\dfrac1y \geq \dfrac{4}{x+y}$

    Ta lại có:

    $\quad (x+y)^2\leq 2(x^2 + y^2)$

    $\to x + y \leq \sqrt{2(x^2 + y^2)}=\sqrt2$

    $\to \dfrac{4}{x+y}\geq \dfrac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2$

    $\to D \geq 2\sqrt2$

    Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x = y\\x^2 + y^2 = 1\\x;\,y>0\end{cases}\Leftrightarrow x = y =\dfrac{\sqrt2}{2}$

    Vậy $\min D =2\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\dfrac{\sqrt2}{2}$

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )