Toán Cho x,y là số dương thoả mãn x^2+y^2=1 Tính GTNN của D=1/x +1/y 19/11/2021 By Savannah Cho x,y là số dương thoả mãn x^2+y^2=1 Tính GTNN của D=1/x +1/y
Đáp án: $\min D =2\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\dfrac{\sqrt2}{2}$ Giải thích các bước giải: Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được: $\dfrac1x +\dfrac1y \geq \dfrac{4}{x+y}$ Ta lại có: $\quad (x+y)^2\leq 2(x^2 + y^2)$ $\to x + y \leq \sqrt{2(x^2 + y^2)}=\sqrt2$ $\to \dfrac{4}{x+y}\geq \dfrac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2$ $\to D \geq 2\sqrt2$ Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x = y\\x^2 + y^2 = 1\\x;\,y>0\end{cases}\Leftrightarrow x = y =\dfrac{\sqrt2}{2}$ Vậy $\min D =2\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\dfrac{\sqrt2}{2}$ Trả lời
Đáp án:
$\min D =2\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\dfrac{\sqrt2}{2}$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\dfrac1x +\dfrac1y \geq \dfrac{4}{x+y}$
Ta lại có:
$\quad (x+y)^2\leq 2(x^2 + y^2)$
$\to x + y \leq \sqrt{2(x^2 + y^2)}=\sqrt2$
$\to \dfrac{4}{x+y}\geq \dfrac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2$
$\to D \geq 2\sqrt2$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x = y\\x^2 + y^2 = 1\\x;\,y>0\end{cases}\Leftrightarrow x = y =\dfrac{\sqrt2}{2}$
Vậy $\min D =2\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\dfrac{\sqrt2}{2}$