Cho x,y,z>0 thoả mãn x+y+z=1, tìm gtln P=$\frac{x}{x+1}$+$\frac{y}{y+1}$+ $\frac{z}{z+1}$

Question

Cho x,y,z>0 thoả mãn x+y+z=1, tìm gtln
P=$\frac{x}{x+1}$+$\frac{y}{y+1}$+ $\frac{z}{z+1}$

in progress 0
Melody 3 tuần 2021-11-23T04:20:47+00:00 2 Answers 3 views 0

Answers ( )

    0
    2021-11-23T04:21:59+00:00

    Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    Chúc bạn học tốt^^

     

    0
    2021-11-23T04:22:45+00:00

    Đáp án + Giải thích các bước giải:

    Ta có: 

    $\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}$

    $\dfrac{y}{y+1}=1-\dfrac{1}{y+1}$

    $\dfrac{z}{z+1}=1-\dfrac{1}{z+1}$

    $⇒\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}=1-\dfrac{1}{x+1}+1-\dfrac{1}{y+1}+1-\dfrac{1}{z+1}=3-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1})$

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta được:

    $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}≥\dfrac{(1+1+1)^2}{x+y+z+3}=\dfrac{9}{4}$

    $⇔-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}≤-\dfrac{9}{4}$

    $⇔3-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1})≤\dfrac{3}{4}$

    $⇔\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}≤\dfrac{3}{4}$

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} x+1=y+1=z+1 \\ x+y+z=1 \end{cases}$

    $⇔x=y=z=\dfrac{1}{3}$

    Vậy $P_{max}=\dfrac{3}{4}⇔x=y=z=\dfrac{1}{3}$

     

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )