Cho x,y,z ∈ N .CMR:
M= $\frac{x}{x+y+z}$ + $\frac{y}{x+y+t}$ + $\frac{z}{z+y+t}$ + $\frac{t}{x+z+t}$ có giá trị không phải là số tự nhiên
Cho x,y,z ∈ N .CMR: M= $\frac{x}{x+y+z}$ + $\frac{y}{x+y+t}$ + $\frac{z}{z+y+t}$ + $\frac{t}{x+z+t}$ có giá trị không phải là số tự nhiên
By Cora
Ta có:
`x/(x+y+z+t) < x/(x+y+z) < x/(x+y)` `(1)`
`y/(x+y+z+t) < y/(x+y+t) < y/(x+y)` `(2)`
`z/(x+y+z+t) < z/(z+y+t) < z/(z+t)` `(3)`
`t/(x+y+z+t) < t/(x+z+t) < t/(z+t)` `(4)`
Từ `(1)` , `(2)` , `(3)`, `(4)` cộng vế với vế ta được:
`x/(x+y+z+t) + y/(x+y+z+t) + z/(x+y+z+t) + t/(x+y+z+t) < x/(x+y+z) + y/(x+y+t) + z/(z+y+t) + t/(x+z+t) < x/(x+y) + y/(x+y) + z/(z+t) + t/(z+t)`
`=> (x+y+z+t)/(x+y+z+t) < M < (x+y)/(x+y) + (z+t)/(z+t)`
`=> 1 < M < 2`
Do đó M không phải là số tự nhiên
Vậy M không phải là số tự nhiên
Lời giải:
$\quad M = \dfrac{x}{x+y+z} +\dfrac{y}{y+z+t} +\dfrac{z}{z+t+x}+\dfrac{t}{t+x+y}$
Ta có:
$\dfrac{x}{x+y+z}>\dfrac{x}{x+y+z+t}$
$\dfrac{y}{y+z+t}>\dfrac{y}{x+y+z+t}$
$\dfrac{z}{z+t+x}>\dfrac{z}{x+y+z+t}$
$\dfrac{t}{t+x+y}>\dfrac{t}{x+y+z+t}$
Cộng vế theo vế ta được:
$\dfrac{x}{x+y+z} +\dfrac{y}{y+z+t} +\dfrac{z}{z+t+x}+\dfrac{t}{t+x+y} >\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z+t}$
$\Leftrightarrow M > 1\qquad (1)$
Ta lại có:
$\dfrac{x}{x+y+z}<\dfrac{x}{x+z}$
$\dfrac{y}{y+z+t}<\dfrac{y}{y+t}$
$\dfrac{z}{z+t+x}<\dfrac{z}{x+z}$
$\dfrac{t}{t+x+y}<\dfrac{t}{y+t}$
Cộng vế theo vế ta được:
$\dfrac{x}{x+y+z} +\dfrac{y}{y+z+t} +\dfrac{z}{z+t+x}+\dfrac{t}{t+x+y} < \dfrac{x}{x+z} +\dfrac{z}{x+z} +\dfrac{y}{y+t} +\dfrac{t}{y+t}$
$\Leftrightarrow M < 2\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow 1 < M < 2$
$\Rightarrow M$ không phải số tự nhiên