cho x,y,z thuộc Z , thỏa mãn : x+y = z^3 – 2018z . cmr : x^3 +y^3 +z^3 chia hết cho 6

Question

cho x,y,z thuộc Z , thỏa mãn : x+y = z^3 – 2018z . cmr : x^3 +y^3 +z^3 chia hết cho 6

in progress 0
Samantha 5 tháng 2021-07-29T11:04:11+00:00 1 Answers 5 views 0

Answers ( )

    0
    2021-07-29T11:05:16+00:00

    Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    Đặt $Q = x² + y² + z² – xy – yz – zx (Q∈ Z)$

    Áp dụng HĐT :

    $ x³ + y³ + z³ = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx) + 3xyz$

    Ta có $: P = x³ + y³ + z³ = (x + y + z).Q + 3xyz $

    $ = (z³ – 2017z).Q + 3xyz = z[(z² – 2017)Q + 3xy]$

    @ Xét $z$ có dạng $2p; 2p + 1 ( p ∈ Z)$

    – Nếu $ z = 2p ⇒ P$ chia hết cho $2$

    – Nếu $ z = 2p + 1$ lẻ $⇒ x + y = z³ – 2018z $ lẻ

    $ ⇒ x$ hoặc $y$ chẵn $⇒ xy$ chia hết cho $2$

    $ ⇒ P = z[((2p + 1)² – 2017)Q + 3xy] $

    $ = z[4(p² + p – 504)Q + 3xy]$ Chia hết cho $2 $

    Vậy $P$ chia hết cho $2 (1)$

    @ Xét $z$ có dạng $3q; 3q + 1; 3q + 2 ( q ∈ Z)$

    – Nếu $ z = 3q ⇒ P$ chia hết cho $3$

    – Nếu $ z = 3q + 1$

    $ ⇒ P = z[((3q + 1)² – 2017)Q + 3xy] $

    $ = z[(9q² + 6q – 2016)Q + 3xy]$

    $ = 3z[(3q² + 2q – 672)Q + xy) ⇒ P$ chia hết cho $3$

    – Nếu $ z = 3q + 2$

    $ ⇒ P = z[((3q + 2)² – 2017)Q + 3xy]$

    $ = z[(9q² + 12q – 2013)Q + 3xy]$

    $ = 3z[(3q² + 4q – 671)Q + xy] ⇒ P$ chia hết cho $3$

    Vậy $P$ chia hết cho $3 (2)$

    Từ $(1); (2) ⇒ P$ chia hết cho $6 (đpcm)$

     

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )