Chứng minh bất đẳng thức: ( a+ b +c )( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ ) ≥ 9

Question

Chứng minh bất đẳng thức:
( a+ b +c )( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ ) ≥ 9

in progress 0
Rylee 4 tháng 2021-08-19T18:58:41+00:00 2 Answers 2 views 0

Answers ( )

    0
    2021-08-19T18:59:54+00:00

    Đáp án:

    `(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9` 

    Giải thích các bước giải:

    Áp dụng bất đẳng thức AM – GM

    Ta có:

    `(\sum a)(\sum \frac{1}{a})=3+\sum_{sym}^{}\frac{a}{b}>=3+2+2+2=9` (đpcm)

    Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c`

    Cách khác:

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

    Ta có:

    `(\sum a)(\sum \frac{1}{a})>=(\sum a)(\frac{9}{\sum a})=9`

    Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c`

    Sửa đề:

    Cho các số thực dương `a,b,c`

    Chứng minh `(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9`

    0
    2021-08-19T19:00:19+00:00

    Đáp án+Giải thích các bước giải:

    Bổ sung đề: `a;b;c` là `3` số thực.`a;b;c>0`

    `a+b+c=1`

    Ta có:

    `1/a+1/b+1/c`

    `=1.(1/a+1/b+1/c)`

    `=(a+b+c).(1/a+1/b+1/c)`

    `=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1`

    `=(1+1+1)+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`

    `=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`

    Vì `a;b;c>0` nên áp dụng bất đẳng thức `Côsi` ta có:

    `a/b+b/a≥2\sqrt{a/(b).(b)/a}=2`

    `a/c+c/a≥2\sqrt{a/(c).(c)/a}=2`

    `b/c+c/b≥2\sqrt{b/(c).(c)/b}=2`

    `\to (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥2+2+2=6`

    `\to 3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥6+3=9`

    `\to (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9`

    `\to đpcm`

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )