Chứng minh bất đẳng thức:
( a+ b +c )( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ ) ≥ 9
Chứng minh bất đẳng thức: ( a+ b +c )( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ ) ≥ 9
By Rylee
By Rylee
Chứng minh bất đẳng thức:
( a+ b +c )( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ ) ≥ 9
Đáp án:
`(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9`
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM
Ta có:
`(\sum a)(\sum \frac{1}{a})=3+\sum_{sym}^{}\frac{a}{b}>=3+2+2+2=9` (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c`
Cách khác:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Ta có:
`(\sum a)(\sum \frac{1}{a})>=(\sum a)(\frac{9}{\sum a})=9`
Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c`
Sửa đề:
Cho các số thực dương `a,b,c`
Chứng minh `(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9`
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Bổ sung đề: `a;b;c` là `3` số thực.`a;b;c>0`
`a+b+c=1`
Ta có:
`1/a+1/b+1/c`
`=1.(1/a+1/b+1/c)`
`=(a+b+c).(1/a+1/b+1/c)`
`=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1`
`=(1+1+1)+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`
`=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`
Vì `a;b;c>0` nên áp dụng bất đẳng thức `Côsi` ta có:
`a/b+b/a≥2\sqrt{a/(b).(b)/a}=2`
`a/c+c/a≥2\sqrt{a/(c).(c)/a}=2`
`b/c+c/b≥2\sqrt{b/(c).(c)/b}=2`
`\to (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥2+2+2=6`
`\to 3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥6+3=9`
`\to (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9`
`\to đpcm`