Chứng minh các bất đẳng thức sau: a, x + $\frac{1}{x}$ $\geq$ 2 với x > 0 b, $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq$ $\frac{4}{a+b}$ với a>0, b>0

0 bình luận về “Chứng minh các bất đẳng thức sau: a, x + $\frac{1}{x}$ $\geq$ 2 với x > 0 b, $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq$ $\frac{4}{a+b}$ với a>0, b>0”

1. a/ \(x+\dfrac{1}{x}≥2\\↔\dfrac{x^2+1}{x}-2≥0\\↔\dfrac{x^2+1-2x}{x}≥0\\↔\dfrac{(x-1)^2}{x}≥0\\Vì\,\,x>0,(x-1)^2\\→\dfrac{(x-1)^2}{x}≥0\)

   b/ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}≥\dfrac{4}{a+b}\\↔\dfrac{a+b}{ab}≥\dfrac{4}{a+b}\\↔\dfrac{a+b}{ab}-\dfrac{4}{a+b}\\↔\dfrac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}≥0\\↔\dfrac{(a-b)^2}{ab(a+b)}≥0\\Vì\,\,a,b>0\\→ab(a+b)>0\\Lại\,\,có:(a-b)^2\ge 0\\→\dfrac{(a-b)^2}{ab(a+b)}≥0\)

   Trả lời

2. a) Áp dụng bất đẳng thức cô si, ta có:

   $x+\frac{1}{x}$ $\geq$ $2\sqrt[]{x.\frac{1}{x}}=2$

   Dấu “=” xảy ra <=> $x=\frac{1}{x}$  <=> $x=1$. ( Vì $x>0$)

   b) Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:

   $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq2$ $\sqrt[]{\frac{1}{ab}}$

   $a+b$$\geq2$ $\sqrt[]{ab}$

   => $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)$ $\geq2.2$ $\sqrt[]{\frac{1}{ab}.ab}=4$

   => $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ $\geq$ $\frac{4}{a+b}$  (ĐPCM)

   – Chúc bạn học tốt ‘-‘ –

   Trả lời