Toán Chứng minh $\frac{1}{ab}$ +$\frac{1}{a^{2}b^2}$ $\geq$ $6$; $a+b=1$ 12/09/2021 By Remi Chứng minh $\frac{1}{ab}$ +$\frac{1}{a^{2}b^2}$ $\geq$ $6$; $a+b=1$
Ta xét : `VT=1/(ab)+1/(a^2 b^2)=1/(2ab)+1/(a^2 b^2)+1/(2ab)` Áp dụng BĐT được : `1/x+1/y \geq 4/(x+y)` với $\begin{cases}x;y>0\\a+b=1\end{cases}$ ta có : `1/(2ab)+1/(a^2 b^2) \geq 4/(2ab+a^2+b^2)=4/((a+b)^2)=4` Áp dụng BĐT ta lại có : `4xy ≤(x+y)^2` được : `1/(2ab)=4/(4ab) \geq 2/((a+b)^2)=2` `=>VT \geq 4+2=6` Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}$ nên `a=b=1/2` Trả lời
Ta xét : `VT=1/(ab)+1/(a^2 b^2)=1/(2ab)+1/(a^2 b^2)+1/(2ab)`
Áp dụng BĐT được : `1/x+1/y \geq 4/(x+y)` với $\begin{cases}x;y>0\\a+b=1\end{cases}$ ta có :
`1/(2ab)+1/(a^2 b^2) \geq 4/(2ab+a^2+b^2)=4/((a+b)^2)=4`
Áp dụng BĐT ta lại có : `4xy ≤(x+y)^2` được :
`1/(2ab)=4/(4ab) \geq 2/((a+b)^2)=2`
`=>VT \geq 4+2=6`
Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}$ nên `a=b=1/2`