chung minh rang ( a+ b + c + d ) ^2 > 8/3 ( ab+ ac + ad+bc+bd+cd)

0 bình luận về “chung minh rang ( a+ b + c + d ) ^2 > 8/3 ( ab+ ac + ad+bc+bd+cd)”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   $ (a + b + c + d)² ≥ \frac{8}{3}(ab + ac + ad + bc + bd + cd)$ 

   $ ⇔ 3(a + b + c + d)² ≥ 8(ab + ac + ad + bc + bd + cd)$

   $ ⇔ 3[(a + b)² + (c + d)² + 2(a + b)(c + d)] ≥ 8(ab + ac + ad + bc + bd + cd)$

   $ ⇔ 3(a + b)² + 3(c + d)² + 6(a + b)(c + d) ≥ 8(ab + ac + ad + bc + bd + cd)$

   $ ⇔ 3a² + 3b² + 6ab + 3c² + 3d² + 6cd + 6ac + 6ad + 6bc + 6bd ≥ 8(ab + ac + ad + bc + bd + cd)$ 

   $ ⇔ (a² – 2ab + b²) + (a² – 2ac + c²) + (a² – 2ad + d²) + (b² – 2bc + c²) + (b² – 2bd + d²) + (c² – 2cd + d²) ≥ 0$ 

   $ ⇔ (a – b)² + (a – c)² + (a – d)² + (b – c)² + (b – d)² +(c – d)² ≥ 0$ ( luôn đúng )

   Dấu = khi $ a = b = c = d$

    

   Trả lời

2. Giải thích các bước giải:

   Ta có: \((a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+bc+ca+cd+bd+ad)\) 

   Mặt khác, ta có: \(3(a^2+b^2+c^2+d^2)\ge 2(ab+bc+ca+cd+bd+ad)\\\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge \dfrac 23(ab+bc+ca+cd+bd+ad)\)

   SUy ra, ta có: 

   \((a+b+c+d)^2\ge \dfrac23(ab+bc+ca+cd+bd+ad)+2(ab+bc+ca+cd+bd+ad)=\dfrac83(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\)

   Vậy ta có đpcm

   Trả lời