chứng minh rằng $\frac{sinx}{x}>\frac{2}{\pi}$ với mọi x thuộc (0;pi/2)

0 bình luận về “chứng minh rằng $\frac{sinx}{x}>\frac{2}{\pi}$ với mọi x thuộc (0;pi/2)”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải: Tham khảo

   Áp dụng tính chất lồi lõm của hàm số

   Xét hàm số $f(x) = sinx – \frac{2x}{π}$ liên tục với $∀x ∈ [0; \frac{π}{2}]$

   $ ⇒ f'(x) = cosx – \frac{2}{π} ⇒ f”(x) = – sinx ≤ 0 $ với $∀x ∈ [0; \frac{π}{2}]$

   $ ⇒ f(x)$ là hàm lồi trên $[0; \frac{π}{2}]$

   Ta có $ f(0) = f(\frac{π}{2}) = 0$

   Theo tính chất hàm lồi : $ Minf(x) = Min(f(0); f(\frac{π}{2})) = 0$

   $ ⇒ f(x) ≥  Minf(x) = 0 ⇔ sinx – \frac{2x}{π} ≥ 0 (1) $ với $∀x ∈ [0; \frac{π}{2}]$

   Dấu $’=’$ ở $(1)$ chỉ xảy ra khi $ x = 0; x = \frac{π}{2}$

   Từ $(1)$ với $∀x ∈ (0; \frac{π}{2}) ⇒ sinx > \frac{2x}{π} ⇔ \frac{sinx}{x} > \frac{2}{π}$

    

   Trả lời

2. Xét hàm số `f(x)=sinx/x` trên `(0;pi/2]`

   Ta có: `f'(x)=\frac{xcosx-sinx}{x^2}=g(x)/x^2∀x∈(0;pi/2]`

   Xét `g(x)=xcosx-sinx` liên tục trên `[0;pi/2]` ta có:

   `g'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx\leq0∀x∈(0;pi/2]`

   `\to` `g(x)` nghịch biến trên `[0;pi/2]`

   Do đó với `0<x<pi/2` ta có `g(x)<g(0)=0`

   Từ đó suy ra `f'(x)=g(x)/x^2<0∀x∈(0;pi/2]`

   `\to` `f(x)` nghịch biến trên `∀x∈(0;pi/2]`

   `\to` `f(x)>f(pi/2)=2/pi∀x∈(0;pi/2)`

   hay `sinx/x>2/pi∀x∈(0;pi/2)` (đpcm)

   Trả lời