chứng minh rằng nếu 10^k-1 chia hết cho 19 với k thuộc n thì 10^a.k -1 chia hết cho 19
b) chúng minh rằng tồn tại một bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19
chứng minh rằng nếu 10^k-1 chia hết cho 19 với k thuộc n thì 10^a.k -1 chia hết cho 19 b) chúng minh rằng tồn tại một bội của 19 có tổng các chữ số b
By Josephine
a)Ta có 10^k -1 chia hết cho 19
⇒ 10^k -1≡ 0(mod 19)
⇒ 10^k -1+1≡0 + 1(mod 19)
⇒ 10^k ≡ 1 (mod 19)
⇒ 10^a.k ≡ 1(mod 19)
⇒ 10^a.k -1 ≡ 1-1(mod 19)
⇒ 10^a.k -1≡ 0 (mod 19)
Vì 10^a.k -1 đồng dư với 0 theo môđun 19 ⇒ 10^a.k -1 chia hết cho 19 (đpc/m)
b)Ta xét dãy số gồm 20 số: 19;1919;191919;….,.;1919….19
20 số 19
Áp dụng nguyên lý Điricle thì có ít nhất [20/19] + 1=2 số có cùng số dư khi chia cho 19
Giả sử hai số đó là a=1919…..19 ; b=1919….19 (n>m,n;m∈N)
n số 19 m số 19
⇒(a – b) chia hết cho 19
⇒(1919….19 – 1919….19) chia hết cho 19
⇒ 1919…19 00…0 chia hết cho 19
n-m số 19 m số 19
⇒ 1919….19 . 10^m chia hết cho 19
n-m số 19
Mà (10^m;19)=1
⇒1919….19 chia hết cho 19⇒là bội của 19
Vậy ta c/m dc tồn tại 1 số toàn số 19 là bội của 19
Ta có : $a^n-1 = (a-1).(a^{n-1}+a^{n-2}+….+1) \vdots a-1$
Do đó : $a^n-1 \vdots a-1$
Áp dụng vào bài toán thì ta có :
$10^{a.k}-1 = (10^k)^a-1 \vdots 10^k-1$
mà : $10^k -1 \vdots 19$
Nên $10^{k.a} – 1 \vdots 19$
$\to đpcm$