chung minh rang neu a,b,c la do dai 3 canh cua 1 tam giac co chu vi = 3thi 3a^2+3b^2 +3c^2 +4abc >hoac=13

Question

chung minh rang neu a,b,c la do dai 3 canh cua 1 tam giac co chu vi = 3thi 3a^2+3b^2 +3c^2 +4abc >hoac=13

in progress 0
Harper 2 tháng 2021-07-25T22:01:52+00:00 1 Answers 10 views 0

Answers ( )

    0
    2021-07-25T22:03:15+00:00

    Đáp án:

     Ta dễ dàng chứng minh được: $0 < a,b,c \le \frac{3}{2}$

    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta được:

    $\begin{array}{l}
    (\frac{3}{2} – a) + (\frac{3}{2} – b) + (\frac{3}{2} – c) \ge 3\sqrt[3]{{(\frac{3}{2} – a)(\frac{3}{2} – b)(\frac{3}{2} – c)}}\\
     \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \ge (\frac{3}{2} – a)(\frac{3}{2} – b)(\frac{3}{2} – c)\\
     \Leftrightarrow \frac{1}{8} \ge \frac{{27}}{8} – \frac{9}{4}\left( {a + b + c} \right) + \frac{3}{2}\left( {ab + bc + ca} \right) – abc\\
     \Leftrightarrow \frac{1}{8} \ge  – \frac{{27}}{8} + \frac{3}{2}\left( {ab + bc + ac} \right) – abc\\
     \Leftrightarrow 4abc \ge  – 14 + 6\left( {ab + bc + ca} \right)\\
     \Leftrightarrow 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \ge 13\left( {dpcm} \right)
    \end{array}$

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )