Chứng minh rằng: tanxx+ $ frac{x^3}{3}$ với mọi x thuộc (0;pi/2)

Question

Chứng minh rằng: tanx>x+ $ frac{x^3}{3}$ với mọi x thuộc (0;pi/2)

kimnguen · Answer

????????

daohoa · Answer

Xét hàm số `f(x)=tanx-x-x^3/3` trên `[0;pi/2)`

Ta có: `f'(x)=1/(cos^2x)-1-x^2=tan^2x-x^2=(tanx-x)(tanx+x)\geq0,∀x∈[0;pi/2)`

`\to` `f(x)` đồng biến trên `[0;pi/2)`

Do đó với `0<x<pi/2` ta có `f(x)>f(0)=0`

`⇔tanx-x-x^3/3>0`

`⇔tanx>x+x^3/3∀x∈(0;pi/2)` (đpcm)

Chứng minh rằng: tanx>x+ $\frac{x^3}{3}$ với mọi x thuộc (0;pi/2)