chứng minh rằng tồn tại duy nhất 1 hàm số vừa chẵn vừa lẻ là y=0

0 bình luận về “chứng minh rằng tồn tại duy nhất 1 hàm số vừa chẵn vừa lẻ là y=0”

1. Gọi $f(x)$ là hàm số vừa chẵn vừa lẻ, khi đó, ta có
   $\begin{cases}
   f(x) = f(-(-x)) = -f(-x) (do\, hàm\, lẻ)\\
   f(-x) = f(-(-x)) = f(-x)
   \end{cases}$
   Công từng vế của hai ptrinh ta có
   $2f(x) = 0$ <-> $f(x) = 0$
   Vậy hàm số $y = 0$ vừa chẵn vừa lẻ.
   Tính duy nhất: Giả sử tồn tại một hàm g(x) sao cho g(x) cũng vừa chẵn vừa lẻ, khi đó, ta xét
   $g(x) – f(x)$
   với $f(x)$ là hàm vừa tìm đc ở trên.
   Khi đó
   $g(x) – f(x) = g(-(-x)) – f(-(-x)) = -g(-x) + f(-x)$ do 2 hàm đều lẻ và
   $g(x) – f(x) = g(-(-x)) – f(-(-x)) = g(-x) – f(-x)$ do 2 hàm đều chẵn.
   Cộng từng vế ta có
   $2(g(x) – f(x)) = 0$
   hay
   $g(x) – f(x) = 0$ <-> $g(x) = f(x)$.
   Vậy tồn tại duy nhất 1 hàm vừa chẵn vừa lẻ.

   Trả lời