Toán chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n+4).(n+7) là số chẵn 07/09/2021 By Anna chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n+4).(n+7) là số chẵn
Cách chứng minh tổng quát: Ta có: `(n+4).(n+7)` Vì `n∈N`, ta xét hai trường hợp: `TH_1:` `n` là một số tự nhiên chẵn, `n` có dạng `2k (k∈N).`, thay `2k=n` vào biểu thức ta có: `(n+4).(n+7)` `=(2k+4).(n+7)` `=2(k+2).(n+7).` Có: `2 ⋮ 2 ⇒ 2(k+2).(n+7)⋮ 2 ` Vậy với `TH_1`, `n` là số tự nhiên chẵn, ta có: `2(k+2).(n+7)⋮ 2 hay [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.` `TH_2:` `n` là một số tự nhiên lẻ, `n` có dạng `2k + 1 (k∈N).`, thay `2k+1=n` vào biểu thức ta có: `(n+4).(n+7)` `=(n+4)(2k+1+7)` `=(n+4)(2k+8)` `=(n+4).2.(k+4).` Có: `2 ⋮ 2 ⇒ (n+4).2.(k+4)⋮ 2 ` Vậy với `TH_2`, `n` là số tự nhiên lẻ, ta có: `(n+4).2.(k+4)⋮ 2 hay [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.` Kết luận, với mọi số tự nhiên `n` thì ` [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.` Cách khác: Ta thấy `n` là số tự nhiên thì `n` xảy ra hai trường hợp. `1)` `n` là một số chẵn, thì (n+4) sẽ là một số chẵn `⇒ (n+4)⋮ 2 ⇒ [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.` `2)` `n` là một số lẻ, thì (n+7) sẽ là một số chẵn `⇒ (n+7)⋮ 2 ⇒ [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.` Kết luận, với mọi số tự nhiên `n` thì ` [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.` Ghi chú: một số chẵn + một số chẵn = một số chẵn. một số lẻ + một số lẻ = một số chẵn. Điều kiện số đó là số tự nhiên. Trả lời
$\text { +) Nếu n = 2k (k ∈ N) thì: }$ $\text { (n + 4)(n + 7) = (2k + 4)(2k + 7) = 2(k + 2)(2k + 7) $\vdots$ 2 }$ $\text { ⇒ (n + 4)(n + 7) là 1 số chẵn }$ $\text { +) Nếu n = 2k + 1 (k ∈ N) thì: }$ $\text { (n + 4)(n + 7) = (2k + 5)(2k + 8) = (2k + 5)2(k + 4) $\vdots$ 2 }$ $\text { ⇒ (n + 4)(n + 7) là 1 số chẵn }$ $\text { Vậy ∀ n ∈ N thì: (n + 4)(n + 7) là số chẵn }$ Trả lời
Cách chứng minh tổng quát:
Ta có: `(n+4).(n+7)`
Vì `n∈N`, ta xét hai trường hợp:
`TH_1:` `n` là một số tự nhiên chẵn, `n` có dạng `2k (k∈N).`, thay `2k=n` vào biểu thức ta có:
`(n+4).(n+7)`
`=(2k+4).(n+7)`
`=2(k+2).(n+7).`
Có: `2 ⋮ 2 ⇒ 2(k+2).(n+7)⋮ 2 `
Vậy với `TH_1`, `n` là số tự nhiên chẵn, ta có: `2(k+2).(n+7)⋮ 2 hay [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`
`TH_2:` `n` là một số tự nhiên lẻ, `n` có dạng `2k + 1 (k∈N).`, thay `2k+1=n` vào biểu thức ta có:
`(n+4).(n+7)`
`=(n+4)(2k+1+7)`
`=(n+4)(2k+8)`
`=(n+4).2.(k+4).`
Có: `2 ⋮ 2 ⇒ (n+4).2.(k+4)⋮ 2 `
Vậy với `TH_2`, `n` là số tự nhiên lẻ, ta có: `(n+4).2.(k+4)⋮ 2 hay [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`
Kết luận, với mọi số tự nhiên `n` thì ` [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`
Cách khác:
Ta thấy `n` là số tự nhiên thì `n` xảy ra hai trường hợp.
`1)` `n` là một số chẵn, thì (n+4) sẽ là một số chẵn `⇒ (n+4)⋮ 2 ⇒ [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`
`2)` `n` là một số lẻ, thì (n+7) sẽ là một số chẵn `⇒ (n+7)⋮ 2 ⇒ [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`
Kết luận, với mọi số tự nhiên `n` thì ` [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`
Ghi chú: một số chẵn + một số chẵn = một số chẵn.
một số lẻ + một số lẻ = một số chẵn.
Điều kiện số đó là số tự nhiên.
$\text { +) Nếu n = 2k (k ∈ N) thì: }$
$\text { (n + 4)(n + 7) = (2k + 4)(2k + 7) = 2(k + 2)(2k + 7) $\vdots$ 2 }$
$\text { ⇒ (n + 4)(n + 7) là 1 số chẵn }$
$\text { +) Nếu n = 2k + 1 (k ∈ N) thì: }$
$\text { (n + 4)(n + 7) = (2k + 5)(2k + 8) = (2k + 5)2(k + 4) $\vdots$ 2 }$
$\text { ⇒ (n + 4)(n + 7) là 1 số chẵn }$
$\text { Vậy ∀ n ∈ N thì: (n + 4)(n + 7) là số chẵn }$