Cm rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9

0 bình luận về “Cm rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9”

1. Gọi ba số nguyên liên tiếp là: `a-1,a, a+1 (a∈ZZ).`

   `⇒` lập phương của ba số đó lần lượt là: `(a-1)^3,a^3,(a+1)^3.`

    Theo bài ra ta có:

   `(a-1)^3+a^3+(a+1)^3`

   `=(a^3-3a^2+3a-1)+a^3+(a^3+3a^2+3a+1)`

   `=a^3-3a^2+3a-1+a^3+a^3+3a^2+3a+1`

   `=(a^3+a^3+a^3)+(-3a^2+3a^2)+(3a+3a)+(-1+1)`

   `=(a^3+a^3+a^3)+(-3a^2+3a^2)+(3a+3a)+(-1+1)`

   `=3a^3+6a`

   `=3a^3-3a+9a`

   `=3a(a^2-1)+9a`

   `=3a(a+1)(a-1)+9a`

   `=3(a-1)a(a+1)+9a.`

   Ta thấy `9a⋮9`

   Vì `(a-1).a.(a+1)` là 3 số nguyên liên tiếp, trong đó có ít nhất `1` số chia hết cho `3⇒(a-1)a(a+1) ⋮3`

   `⇒3(a-1)a(a+1) ⋮9.`

   Như vậy: `3(a-1)a(a+1)+9a ⋮9.`

   Vậy ta có $đpcm$ rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho `9.`

   Trả lời

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Gọi 3 số nguyên liên tiếp đó là : `a-1;a;a+1(ainZ)`

   Theo đề bài ta có pt :

   `(a-1)^3+a^3+(a+1)^3`

   `=[(a-1)^3+(a+1)^3]+a^3`

   `=(a-1+a+1)[(a-1)^2-(a-1)(a+1)+(a+1)^2]+a^3`

   `=2a(a^2+3)+a^3`

   `=3a^3+6a`

   `=3a(a^2+2)`

   `=3a(a^2-1+3)`

   `=3(a-1)a(a+1)+9a`

   Vì `(a-1)a(a+1)\vdots3` (tích 3 số nguyên liên tiếp luôn `\vdots3`)

   `=>3(a-1)a(a+1)\vdots9`

   mà `9a\vdots9`

   `=>3(a-1)a(a+1)+9a\vdots9`

   `=>dpcm`

   Trả lời