CMR : các biểu thức sau ko phải là số nguyên S = $\frac{3}{4}$ + $\frac{8}{9}$ + $\frac{15}{16}$ +……..+ $\frac{n ² – 1}{n ²}$ với n ∈N , n > 2

0 bình luận về “CMR : các biểu thức sau ko phải là số nguyên S = $\frac{3}{4}$ + $\frac{8}{9}$ + $\frac{15}{16}$ +……..+ $\frac{n ² – 1}{n ²}$ với n ∈N , n > 2”

1. Tham khảo

    `S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+….+\frac{n^2-1}{n^2}`

   `⇒S=(1-\frac{1}{4})+(1-\frac{1}{9})+…+(1-\frac{1}{n^2})`

   `⇒S=(1+1+…+1)-(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+….+\frac{1}{n^2})`

   `⇒S=(1+1+…+1)-(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2})`

   Để `S` không phải số nguyên

   `⇔\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}` không phải số nguyên

   Đặt ` A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}`

   Xét `A`

   `⇒A>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+…+\frac{1}{n(n+1)}`

   `⇒A>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}`

   `⇒A>\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}`

   Vì `n>2⇒\frac{1}{n+1}<\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}`

   `⇒A>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}(1)`

   Xét `A`

   `⇒A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{(n-1)n}`

   `⇒A<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}`

   `⇒A<1-\frac{1}{n}`

   Vì `n>2⇒\frac{1}{n}<\frac{1}{2}`

   `⇒A<1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2)`

   Từ `(1)(2)⇒\frac{1}{6}<A<\frac{1}{2}`

   `⇒A` không phải số nguyên

   `⇒S` không phải số nguyên

   Trả lời

2. Đáp án :

   `S` không là số nguyên

   Giải thích các bước giải :

   `+)`Ta có :

   `n.(n-a)<n<n.(n+a)=>1/(n.(n-a))>1/n>1/(n.(n+a))       (a>0)`

   `a/(n.(n+a))=1/n-1/(n+a)`

   `S=3/4+8/9+(15)/(16)+…+(n^2-1)/n^2`

   `=>S=(2^2-1)/2^2+(3^2-1)/3^2+(4^2-1)/4^2+…+(n^2-1)/n^2`

   `=>S=1-1/2^2+1-1/3^2+1-1/4^2+…+1-1/n^2`

   `=>S=\underbrace{1+1+1+…+1}-(1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2)`

                             Có `n` số `1`

   `=>S=n-(1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2)`

   Đặt `A=1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2`

   `=>A<1/(1.2)+1/(2.3)+1/(3.4)+…+1/((n-1).n)`

   `=>A<1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/(n-1)-1/n`

   `=>A<1-1/(n+1)`

   Vì `n > 2 => 1/(n+1) > 0`

   `=>1-1/(n+1)<1`

   `=>A<1`

   Mà `S=n-A`

   `=>S>n-1     (1)`

   `+)A=1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2`

   `=>A>1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)+…+1/(n.(n+1))`

   `=>A>1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+…+1/n-1/(n+1)`

   `=>A>1/2-1/(n+1)`

   Vì `n > 2 => 1/(n+1) ≥ 1/3`

   `=>1/2-1/3 > 0`

   `=>A > 0`

   Mà `S=n-A`

   `=>S=n-0`

   `=>S<n     (2)`

   Từ `(1) và (2)`

   `=>n-1<S<n`

   Mà `n-1` và `n` là hai số nguyên liên tiếp

   `=>S` không là số nguyên

   Vậy : `S` không là số nguyên

   Trả lời