CMR nếu 1 tam giác có số đo các cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác nhỏ hơn căn 3/4

0 bình luận về “CMR nếu 1 tam giác có số đo các cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác nhỏ hơn căn 3/4”

1. Giải thích các bước giải:

   Gọi $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác$(a,b,c>0)$

   $\to$Theo công thức herong ta có $S=\dfrac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}$

   Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   Ta có:

   $(a+b-c)(b+c-a)\le \dfrac14(a+b-c+b+c-a)^2=b^2$

   $(b+c-a)(c+a-b)\le \dfrac14(b+c-a+c+a-b)^2=c^2$

   $(c+a-b)(a+b-c)\le \dfrac14(c+a-b+a+b-c)^2=a^2$

   Nhân vế với vế 

   $\to ((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b))^2\le (abc)^2$

   $\to (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc$

   $\to (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc(a+b+c)<1\cdot 1\cdot 1\cdot (1+1+1)=3$

   $\to \dfrac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}<\dfrac{\sqrt3}{4}$

   $\to S<\dfrac{\sqrt3}{4}$

   $\to đpcm$

   Trả lời