Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàn số y=x³ +3x²-(m²-3m+2)x +5 đồng biến trên (0;2)

0 bình luận về “Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàn số y=x³ +3x²-(m²-3m+2)x +5 đồng biến trên (0;2)”

1. Để hàm số đồng biến trên $(0;2)$ thì $y’≥0$, $∀x∈[0;2]$

   $→ 3x^2+6x≥m^2-3m+2$, $∀x∈[0;2]$

   Đặt $g(x)=3x^2+6x$

   $→ m^2-3m+2≤Min_{g(x)}$, $∀x∈[0;2]$

   Ta có: $g'(x)=6x+6 → g'(x)=0 ↔ x=-1$

   $→$ Trên đoạn $[0;2]$ $g(x)$ đồng biến $→ Min_{g(x)}$ trên $[0;2]$ là $g(0)=0$

   $→ m^2-3m+2≤0$

   $↔ m∈[1;2]$

   Vì $m∈Z$ nên $m=1$ hoặc $m=2$

   Vậy có $2$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề bài.

   Trả lời

2. Đáp án:

   $\Leftrightarrow 1 \leq m \leq 2$

   Giải thích các bước giải:

   $y = x^3 + 3x^2 – (m^2 – 3m +2)x + 5$

   $TXĐ: D= R$

   $y’ = 3x^2 + 6x – (m^2 – 3m + 2)$

   Hàm số đồng biến trên $(0;2)$

   $\Leftrightarrow y’ \geq 0, \forall x \in (0;2)$

   $\Leftrightarrow 3x^2 + 6x – (m^2 – 3m + 2)\geq 0, \forall x \in (0;2)$

   $\Leftrightarrow m^2 – 3m + 2 \leq 3x^2 + 6x, \forall x \in (0;2)$

   Xét $g(x) = 3x^2 + 6x, \, x \in (0;2)$

   $\Rightarrow g'(x) = 6x + 6$

   $\Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow 6x + 6 = 0 \Leftrightarrow -1 \not\in (0;2)$

   Bảng biến thiên của $g(x)$ trên $(0;2):$

   $\begin{array}{|l|cr|}
   \hline
   x & & -1 & & & 0 & & & & &2 &\\
   \hline
   g'(x) &  – & 0&+ &  &  & & &+& &&\\
   \hline
   &&|&&&&&&&&24\\
   g(x) & &|& && && &\nearrow\\
   &&|&&&0\\
   \hline
   \end{array}$

   Dựa vào bảng biến thiên, ta được:

   $m^2 – 3m + 2 \leq 0$

   $\Leftrightarrow 1 \leq m \leq 2$

   Trả lời