Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn: n^3+5n+2020 chia hết cho 6

Question

Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn: n^3+5n+2020 chia hết cho 6

in progress 0
Liliana 5 ngày 2021-09-03T19:31:52+00:00 2 Answers 2 views 0

Answers ( )

    0
    2021-09-03T19:33:28+00:00

    Ta có: `n^3+5n+2020`

    `=n^3-n+6n+2020`

    `=n(n^2-1)+6n+2020`

    `=(n-1)n(n+1)+6n+2020`

    Mà với $n∈N$ thì `n-1;n;n+1` là 3 số nguyên liên tiếp

    `⇒` Có 1 số chia hết cho 3

    Ít nhất 1 số chia hết cho 2

    `⇒(n-1)n(n+1) \vdots 3;2`

    Mà `(3;2)=1`

    `⇒(n-1)n(n+1) \vdots 6`

    Mặt khác `6n \vdots 6`

    `⇒(n-1)n(n+1)+6n \vdots 6`

    Mà `2020` ko chia hết cho 6

    `⇒(n-1)n(n+1)+6n+2020` ko chia hết cho 6

    Hay `n^3+5n+2020` ko chia hết cho 6

    `⇒` Không có số tự nhiên `n` nào thỏa mãn đề

     

    0
    2021-09-03T19:33:46+00:00

    Có: `n^3+5n+2020`

    `=n^3-n+6n+2020`

    `=(n^3-n)+6n+2016+4`

    `=n(n^2-1)+(6n+2016)+4`

    `=n(n+1)(n-1)+6(n+336)+4`

    Có: `n∈NN` nên trong ba số `n-1, n, n+1` là ba số liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho `2`, một số chia hết cho `3.` Mà `ƯCLN(2;3)=1` `⇒n(n+1)(n-1)` chia hết cho `2.3=6.`

    Lại có: `6(n+336)` chia hết cho `6` ( vì `6` chia hết cho `6` )

    Có: `4` không chia hết cho `6` nên `n(n+1)(n-1)+6(n+336)+4` không chia hết cho `6` hay `n^3+5n+2020` không chia hết cho `6.`

    `⇒` Không có `n` thỏa mãn.

    Vậy không có `n` thỏa mãn. để `n^3+5n+2020` chia hết cho `6.`

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )