Giả sử` a, b, u, v `là các số thực mà` av – bu = 1.` Chứng minh rằng:
`a ^ 2 + b ^ 2 + u ^ 2 + v ^ 2 + au + bv ≥√3`
Giả sử` a, b, u, v `là các số thực mà` av – bu = 1.` Chứng minh rằng: `a ^ 2 + b ^ 2 + u ^ 2 + v ^ 2 + au + bv ≥√3`
By Eden
By Eden
Giả sử` a, b, u, v `là các số thực mà` av – bu = 1.` Chứng minh rằng:
`a ^ 2 + b ^ 2 + u ^ 2 + v ^ 2 + au + bv ≥√3`
Đặt `A=a^2+b^2+u^2+v^2+au+bv`
`4A=4a^2+4b^2+4u^2+4v^2+4au+4bv`
`⇔4A=(2a+u)^2+(2b+v)^2+3u^2+3v^2`
`⇔A=((2a+u)^2+(2b+v)^2+3u^2+3v^2)/4 ≥0`
ta có :
`⇔A≥2\sqrt((a^2+b^2)(u^2+v^2))+au+bv`
`⇔A^2≥2\sqrt((ac+bd)^2 +(av-bu)^2)+au+bv`
`⇔A^2≥2\sqrt((ac+bd)^2 +1)+au+bv`
`⇒A^2≥(au+bv)^2+4+4(au+bv)^2+4x\sqrt((au+bv)^2+1)`
`⇔A^2≥1+(au+bv)^2+4x\sqrt((au+bv)^2+1)+4x^2+3`
`⇔A^2≥((au+bv)^2+2x+1)^2+3≥3`
`⇔A≥√3`
`”=”`xẩy ra khi :
`a=-`$\sqrt[4]{4/(3)}$
`b=0`
`c=`$\sqrt[4]{1/(12)}$
`d=`$\sqrt[4]{3/(4)}$
Kham khảo nha