Giá trị lớn nhất của m để phương trình ( m-1) x^2 -2(m+1 ) x +m=0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn /x1-x2/ > =2 là m=

0 bình luận về “Giá trị lớn nhất của m để phương trình ( m-1) x^2 -2(m+1 ) x +m=0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn /x1-x2/ > =2 là m=”

1. Giải thích các bước giải:

    Phương trình đã cho  có 2 nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) khi và chỉ khi:

   \(\begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   m – 1 \ne 0\\
   \Delta ‘ \ge 0
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m \ne 1\\
   {\left( {m + 1} \right)^2} – \left( {m – 1} \right).m \ge 0
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m \ne 1\\
   {m^2} + 2m + 1 – {m^2} + m \ge 0
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m \ne 1\\
   3m + 1 \ge 0
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m \ge  – \frac{1}{3}\\
   m \ne 1
   \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
   \end{array}\)

   Khi đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn:

   \(\left\{ \begin{array}{l}
   {x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{m – 1}}\\
   {x_1}{x_2} = \frac{m}{{m – 1}}
   \end{array} \right.\)

   Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   \left| {{x_1} – {x_2}} \right| \ge 2\\
    \Leftrightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} \ge 4\\
    \Leftrightarrow {x_2}^2 – 2.{x_1}.{x_2} + {x_2}^2 \ge 4\\
    \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} \ge 4\\
    \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{m – 1}}} \right)^2} – 4.\frac{m}{{m – 1}} \ge 4\\
    \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{{m + 1}}{{m – 1}}} \right)^2} – 4.\frac{m}{{m – 1}} \ge 4\\
    \Leftrightarrow {\left( {\frac{{m + 1}}{{m – 1}}} \right)^2} – \frac{m}{{m – 1}} \ge 1\\
    \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} – m\left( {m – 1} \right)}}{{m – 1}} \ge 1\\
    \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 2m + 1 – {m^2} + m}}{{m – 1}} – 1 \ge 0\\
    \Leftrightarrow \frac{{3m + 1 – \left( {m – 1} \right)}}{{m – 1}} \ge 0\\
    \Leftrightarrow \frac{{2m + 2}}{{m – 1}} \ge 0\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   m > 1\\
   m \le  – 1
   \end{array} \right.
   \end{array}\)

   Kết hợp ĐK (*) ta được \(m > 1\)

   Do đó, không có giá trị lớn nhất của m thỏa mãn.

   Trả lời