Giải giúp mình bài nay với ạ
X^2 + y^2 + 3 > xy + x + y
Mn giai đúng giúp mình nhé . Có giai thích càng tốt ạ . Giai dung và chi tiết minh cho câu tl hay nhất nhé <3333
Mình cần gấp !!!
Giải giúp mình bài nay với ạ X^2 + y^2 + 3 > xy + x + y Mn giai đúng giúp mình nhé . Có giai thích càng tốt ạ . Giai dung và chi tiết minh cho câu
By Julia
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`x^2 + y^2 + 3 > xy + x + y `
`<=>2(x^2 + y^2 + 3) >2( xy + x + y )`
`<=>2x^2 +2 y^2 + 6 >2 xy + 2x + 2y `
`<=>2x^2 +2 y^2 + 6 -2 xy – 2x – 2y >0`
`<=>(x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+4>0`
`<=>(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+4>0`
Vì `(x-y)^2;(x-1)^2;(y-1)^2>=0∀x;y`
`=>(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2>=0∀x;y`
`=>(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+4>=4>0∀x;y`
`=>(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+4>0∀x;y` (luôn đúng)
Ta có
$x^2 + y^2 \geq 2xy$ với mọi $x,y$
$x^2 + 1 \geq 2x$ với mọi $x$
$y^2 + 1 \geq 2y$ với mọi $y$.
Cộng vế với vế ta có
$2x^2 + 2y^2 +2 \geq 2xy + 2x + 2y$ với mọi $x,y$
$<-> x^2 + y^2 + 2 \geq xy + x + y$
Suy ra
$x^2 + y^2 + 2 + 1 > xy + x + y$
$<-> x^2 + y^2 + 3 > xy + x + y$.