Giải hệ √(8x-y+5) + √(x+y-1) = 3√x +2 √xy + 1/ √x = √(8x-y+5)

0 bình luận về “Giải hệ √(8x-y+5) + √(x+y-1) = 3√x +2 √xy + 1/ √x = √(8x-y+5)”

1. Đáp án: (x; y) = (1; 4)

    

   Giải thích các bước giải:

   Điều kiện x > 0; y ≥ 0; 8x – y + 5 ≥ 0; x + y – 1 ≥ 0

   { √(8x – y + 5) + √(x + y – 1) = 3√x + 2 (1)

   { √(xy) + 1/√x = √(8x – y + 5) (2)

   Biến đổi tương đương (1):

   √(x + y – 1) – 2 = 3√x – √(8x – y + 5)

   ⇔ (x + y – 5)[3√x + √(8x – y + 5)] = (x + y – 5)[√(x + y – 1) + 2]

   @ Nếu x + y – 5 = 0 ⇔ y = 5 – x ; 8x – y + 5 = 9x thay vào PT (2)

   √x(5 – x) + 1/√x = 3√x

   ⇔ x√(5 – x) = 3x – 1

   ⇔

   { x³ + 4x² – 6x + 1 = 0

   { 1/3 ≤ x ≤ 5

   ⇔

   { (x – 1)(x² + 5x – 1) = 0

   { 1/3 ≤ x ≤ 5

   ⇔ x = 1 ⇒ y = 4 ( vì x ≥ 1/3 ⇒ x² + 5x – 1 ≥ (1/3)² + 5/3 – 1 > 0)

   @ Nếu 3√x + √(8x – y + 5) = (x + y – 5)[√(x + y – 1) + 2]

   ⇔ √(8x – y + 5) – √(x + y – 1) = 2 – 3√x (3)

   Lấy (2) + (3) có : 2√(8x – y + 5) = 4 ⇔ √(8x – y + 5) = 2 ⇔ y = 8x + 1 thay vào (2)

   √x(8x + 1) + 1/√x = 2

   ⇔ x√(8x + 1) + 1 = 2√x (4)

   Vì x > 0 ⇒ x√(8x + 1) + 1 > x + 1 > 2√x ⇒ (4) vô nghiệm

   KL : Nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 4) thỏa hệ

    

   Trả lời