giai he phuong trinh $\left \{ {{y+\sqrt[]{y^{2}+1 } =2x+1} \atop {x+\sqrt[]{x^{2} +1}=2y+1}} \right.$

0 bình luận về “giai he phuong trinh $\left \{ {{y+\sqrt[]{y^{2}+1 } =2x+1} \atop {x+\sqrt[]{x^{2} +1}=2y+1}} \right.$”

1. Đáp án: $x=y=0$

   Giải thích các bước giải:

   Từ hệ suy ra:

   $(x+\sqrt{x^2+1})-(y+\sqrt{y^2+1})=(2y+1)-(2x+1)$

   $\to (x-y)+(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}) =-2(x-y)$

   $\to 3(x-y)+\dfrac{x^2+1-(y^2+1)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}=0$

   $\to 3(x-y)+\dfrac{(x-y)(x+y)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}=0$

   $\to (x-y)(3+\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}=0$

   Mặt khác cộng vế với vế ta được

   $x+y+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=2x+2y+2$

   $\to \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=x+y+2$

   Vì $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\ge 1+1=2$

   $\to x+y+2\ge 2$

   $\to x+y\ge 0$

   $\to 3+\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}>0$

   $\to x-y=0$

   $\to x=y$

   $\to x+\sqrt{x^2+1}=2x+1$

   $\to x+1=\sqrt{x^2+1}$

   $\to x+1\ge 1\to x\ge 0$

   Và $(x+1)^2=x^2+1$

   $\to x=0$

   Trả lời