Giải phương trình bằng cách dùng bất đẳng thức: $\sqrt{7x^2-22x+28}+\sqrt{7x^2+8x+13}+\sqrt{31x^2+14x+4}=3\sqrt{3}(x+2)$

0 bình luận về “Giải phương trình bằng cách dùng bất đẳng thức: $\sqrt{7x^2-22x+28}+\sqrt{7x^2+8x+13}+\sqrt{31x^2+14x+4}=3\sqrt{3}(x+2)$”

1. Đáp án: $x = \frac{1}{2}$

    

   Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   $ 7x² – 22x + 28 = (2x – 1)² + 3(x – 3)² ≥ 3(x – 3)²$

   Dấu $’=’ ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = \frac{1}{2} (1)$ 

   $ ⇒ \sqrt[]{7x² – 22x + 28} ≥ \sqrt[]{3}|x – 3| ≥ \sqrt[]{3}(3 – x) (2)$

   Dấu $’=’ ⇔ x < 3 $ ( thỏa $(1)$)

   $ 7x² + 8x + 13 = (2x – 1)² + 3(x + 2)² ≥ 3(x + 2)² $

   Dấu $’=’ ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = \frac{1}{2} (3)$ 

   $ ⇒ \sqrt[]{7x² – 22x + 28} ≥ \sqrt[]{3}|x + 2| = \sqrt[]{3}(x + 2) (4)$ (Vì từ $ PT ⇒ x + 2 > 0 $)

   $ 31x² + 14x + 4 = (2x – 1)² + 3(3x + 1)² ≥ 3(3x + 1)² $

   Dấu $’=’ ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = \frac{1}{2} (5)$ 

   $ ⇒ \sqrt[]{31x² + 14x + 4} ≥ \sqrt[]{3}|3x + 1| ≥ \sqrt[]{3}(3x + 1) (6)$

   Dấu $’=’ ⇔ 3x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ – \frac{1}{3}$ ( thỏa $(5)$)

   Từ PT và từ $(2) + (4) + (6)$ ta có :

   $3\sqrt[]{3}(x + 2) = \sqrt[]{7x² – 22x + 28} + \sqrt[]{7x² – 22x + 28} + \sqrt[]{31x² + 14x + 4} $

   $ ≥ \sqrt[]{3}(3 – x) + \sqrt[]{3}(x + 2) + \sqrt[]{3}(3x + 1) = 3\sqrt[]{3}(x + 2)$

   Đã xảy ra dấu $”=” ⇔$ đồng thời xảy ra dấu $”=”$ ở $(1); (2); (3); (4); (5); (6) $

   $⇔ x = \frac{1}{2}$ là nghiệm duy nhất của $PT$

    

   Trả lời