Giải phương trình bằng cách dùng bất đẳng thức: $\sqrt{7x^2-22x+28}+\sqrt{7x^2+8x+13}+\sqrt{31x^2+14x+4}=3\sqrt{3}(x+2)$

Question

Giải phương trình bằng cách dùng bất đẳng thức:
$\sqrt{7x^2-22x+28}+\sqrt{7x^2+8x+13}+\sqrt{31x^2+14x+4}=3\sqrt{3}(x+2)$

in progress 0
Rylee 2 giờ 2021-09-07T11:19:41+00:00 1 Answers 0 views 0

Answers ( )

    0
    2021-09-07T11:21:34+00:00

    Đáp án: $x = \frac{1}{2}$

     

    Giải thích các bước giải:

     Ta có:

    $ 7x² – 22x + 28 = (2x – 1)² + 3(x – 3)² ≥ 3(x – 3)²$

    Dấu $’=’ ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = \frac{1}{2} (1)$ 

    $ ⇒ \sqrt[]{7x² – 22x + 28} ≥ \sqrt[]{3}|x – 3| ≥ \sqrt[]{3}(3 – x) (2)$

    Dấu $’=’ ⇔ x < 3 $ ( thỏa $(1)$)

    $ 7x² + 8x + 13 = (2x – 1)² + 3(x + 2)² ≥ 3(x + 2)² $

    Dấu $’=’ ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = \frac{1}{2} (3)$ 

    $ ⇒ \sqrt[]{7x² – 22x + 28} ≥ \sqrt[]{3}|x + 2| = \sqrt[]{3}(x + 2) (4)$ (Vì từ $ PT ⇒ x + 2 > 0 $)

    $ 31x² + 14x + 4 = (2x – 1)² + 3(3x + 1)² ≥ 3(3x + 1)² $

    Dấu $’=’ ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = \frac{1}{2} (5)$ 

    $ ⇒ \sqrt[]{31x² + 14x + 4} ≥ \sqrt[]{3}|3x + 1| ≥ \sqrt[]{3}(3x + 1) (6)$

    Dấu $’=’ ⇔ 3x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ – \frac{1}{3}$ ( thỏa $(5)$)

    Từ PT và từ $(2) + (4) + (6)$ ta có :

    $3\sqrt[]{3}(x + 2) = \sqrt[]{7x² – 22x + 28} + \sqrt[]{7x² – 22x + 28} + \sqrt[]{31x² + 14x + 4} $

    $ ≥ \sqrt[]{3}(3 – x) + \sqrt[]{3}(x + 2) + \sqrt[]{3}(3x + 1) = 3\sqrt[]{3}(x + 2)$

    Đã xảy ra dấu $”=” ⇔$ đồng thời xảy ra dấu $”=”$ ở $(1); (2); (3); (4); (5); (6) $

    $⇔ x = \frac{1}{2}$ là nghiệm duy nhất của $PT$

     

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )