Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=$\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-1)x$ có hai điểm cực trị A B, sao cho A B, nằm

0 bình luận về “Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=$\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-1)x$ có hai điểm cực trị A B, sao cho A B, nằm”

1. Đáp án: S=0

    

   Giải thích các bước giải:

   $\begin{array}{l}
   y = \dfrac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {{m^2} – 1} \right)x\\
    \Rightarrow y’ = {x^2} – 2mx + {m^2} – 1\\
    = {\left( {x – m} \right)^2} – 1\\
    = \left( {x – m – 1} \right)\left( {x – m + 1} \right) = 0\\
    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
   x = m + 1\\
   x = m – 1
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
   y = \dfrac{1}{3}{\left( {m + 1} \right)^3} – m.{\left( {m + 1} \right)^2} + \left( {{m^2} – 1} \right).\left( {m + 1} \right)\\
   y = \dfrac{1}{3}{\left( {m – 1} \right)^3} – m.{\left( {m – 1} \right)^2} + \left( {{m^2} – 1} \right).\left( {m – 1} \right)
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
   y = \dfrac{1}{3}\left( {{m^3} + 3{m^2} + 3m + 1} \right) – \left( {{m^3} + 2{m^2} + m} \right) + {m^3} + {m^2} – m – 1\\
   y = \dfrac{1}{3}\left( {{m^3} – 3{m^2} + 3m – 1} \right) – \left( {{m^3} – 2{m^2} + m} \right) + {m^3} – {m^2} – m + 1
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
   y = \dfrac{1}{3}{m^3} – m – \dfrac{2}{3}\\
   y = \dfrac{1}{3}{m^3} – m + \dfrac{2}{3}
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow CT:A\left( {m + 1;\dfrac{1}{3}{m^3} – m – \dfrac{2}{3}} \right)\\
   B\left( {m – 1;\dfrac{1}{3}{m^3} – m + \dfrac{2}{3}} \right)
   \end{array}$

   Hai điểm cực trị nằm khác phía và cách đều đường thẳng d nên trung điểm I của AB nằm trên d

   $\begin{array}{l}
   I\left( {m;\dfrac{1}{3}{m^3} – m} \right)\\
   I \in y = 5x – 9\\
    \Rightarrow \dfrac{1}{3}{m^3} – m = 5m – 9\\
    \Rightarrow \dfrac{1}{3}{m^3} – 6m + 9 = 0\\
    \Rightarrow {m^3} – 18m + 27 = 0\\
    \Rightarrow \left( {m – 3} \right)\left( {{m^2} + 3m – 9} \right) = 0\\
    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
   m = 3\\
   m = \dfrac{{ – 3 \pm 3\sqrt 5 }}{2}
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow S = 3 + \dfrac{{ – 3 + 3\sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{ – 3 – 3\sqrt 5 }}{2} = 0
   \end{array}$

   Trả lời

2. Đáp án:

    `S=0`

   Giải thích các bước giải:

   Với mọi `m` hàm số luôn có hai cực trị

   Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là `y=-(2x)/3+(m(m^2-1))/3`

   Vì `A,B` nằm khác phía cách đều đường thẳng `y=5x-9` 

   Nên trung điểm `AB` thuộc đường thẳng `y=5x-9`

   Do đó:

   `5(\frac{x_1+x_2}{2})-9=-2/3(\frac{x_1+x_2}{2})+(m(m^2-1))/3`

   `⇔` `5(\frac{2m}{2})-9=-2/3(\frac{2m}{2})+(m(m^2-1))/3`

   `⇔ m^3-18m+27=0`

   `⇔ ` \(\left[ \begin{array}{l}m=3\\m=\frac{-3+3\sqrt[]{5}}{2}\\m=\frac{-3-3\sqrt[]{5}}{2}\end{array} \right.\)

   Vậy `S=3+\frac{-3-3\sqrt[5]}{2}+\frac{-3+3\sqrt[5]}{2}=0`

   Trả lời