Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp sao cho tổng các lập phương của ba số bằng lập phương của số thứ tư
Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp sao cho tổng các lập phương của ba số bằng lập phương của số thứ tư
By Daisy
By Daisy
Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp sao cho tổng các lập phương của ba số bằng lập phương của số thứ tư
gọi 4 số tự nhiên đó lần lượt là a-2,a-1,a,a+1
ta có (a-2)3+(a-1)3+a3=(a+1)3
khai triển rồi rút gọn ta được 2a3-12a2+12a-10=0
<=>2a3-10a2-2a2+10a+2a-10=0
<=>2a2(a-5)-2a(a-5)+2(a-5)=0
<=>(a-5)(2a2-2a+2)=0
<=>(a-5)(a2-a+1)=0
<=>a-5=0<=>a=5 (vì a2-a+1=(a-1/2)2+3/4>0 với mọi a)
Vậy 4 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 3;4;5;6
Đáp án:
$3,\ 4,\ 5,\ 6$
Giải thích các bước giải:
Gọi $n,\ n+1,\ n+2,\ n+3$ lần lượt là $4$ số tự nhiên liên tiếp thoả mãn yêu cầu bài toán $(n\in\Bbb N)$
Theo đề ta có:
$\quad n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = (n+3)^3$
$\Leftrightarrow 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9 = n^3 + 9n^2 + 27n + 27$
$\Leftrightarrow n^3 – 6n – 9 = 0$
$\Leftrightarrow (n-3)(n^2+ 3n + 3)= 0$
$\Leftrightarrow n = 3\quad (Do\ n^2 + 3n + 3 > 0)$
Vậy $4$ số tự nhiên liên tiếp cần tìm là:
$3,\ 4,\ 5,\ 6$