tìm các giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị nguyên x^4 – 2x^3 – 3x^2 + 8x – 1/ x^2 – 2x + 1
tìm các giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị nguyên x^4 – 2x^3 – 3x^2 + 8x – 1/ x^2 – 2x + 1
By Ivy
By Ivy
tìm các giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị nguyên x^4 – 2x^3 – 3x^2 + 8x – 1/ x^2 – 2x + 1
Đáp án:
$\begin{array}{l}
A = \dfrac{{{x^4} – 2{x^3} – 3{x^2} + 8x – 1}}{{{x^2} – 2x + 1}}\\
= \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} – 2x + 1} \right) – 4{x^2} + 8x – 1}}{{{x^2} – 2x + 1}}\\
= {x^2} – \dfrac{{4{x^2} – 8x + 1}}{{{x^2} – 2x + 1}}\\
= {x^2} – \dfrac{{4\left( {{x^2} – 2x + 1} \right) – 3}}{{{x^2} – 2x + 1}}\\
= {x^2} – 4 + \dfrac{3}{{{x^2} – 2x + 1}}\\
A \in Z\\
\Rightarrow \dfrac{3}{{{x^2} – 2x + 1}} \in Z\\
\Rightarrow \left( {{x^2} – 2x + 1} \right) \in U\left( 3 \right)\\
\Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} \in U\left( 3 \right)\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\left( {x – 1} \right)^2} = 1\\
{\left( {x – 1} \right)^2} = 3
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x – 1 = 1\\
x – 1 = – 1\\
x – 1 = \sqrt 3 \\
x – 1 = – \sqrt 3
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 0\\
x = 1 + \sqrt 3 \left( {ktm} \right)\\
x = 1 – \sqrt 3 \left( {ktm} \right)
\end{array} \right.\\
Vậy\,x \in \left\{ {0;2} \right\}
\end{array}$