Tìm các số nguyên x, y, z biết : |x-y|+|y-z|+|z-x|=$2017^x$+$2018^x$

Question

Tìm các số nguyên x, y, z biết :
|x-y|+|y-z|+|z-x|=$2017^x$+$2018^x$

in progress 0
Vivian 2 tháng 2021-10-04T06:06:40+00:00 1 Answers 8 views 0

Answers ( )

    0
    2021-10-04T06:08:23+00:00

    Đáp án: $(x,y,z)\in\{(0, 0, 1), (0, 0, -1), (0, 1, 0), (0 , 1, 1),(0, -1, 0), (0, -1,-1) \}$

    Giải thích các bước giải:

    Ta có $x,y,z \in Z\to|x-y|+|y-z|+|z-x|\in Z $

    Nếu $x<0\to 2017^x+2018^x\not\in Z$

    $\to x<0$ loại

    $\to x\ge 0$

    Ta có $|x-y|+|y-z|+|z-x|$ có cùng tính chẵn lẻ với $(x-y)+(y-z)+(z-x)=0$ chẵn

    $\to 2017^x+2018^x$ chẵn

    Mà $2017^x$ lẻ $\to 2018^x$ lẻ

    $\to x=0$

    $\to |0-y|+|y-z|+|z-0|=2017^0+2018^0$

    $\to |y|+|y-z|+|z|=2$

    Mà $y, z\in Z$

    $\to |y|, |y-z|,|z|\in Z$

    Lại có $|y|, |y-z|,|z|\ge 0$

    $\to 0\le |y|\le 2$

    $\to |y|\in\{0,1,2\}$

    Nếu $|y|=0\to y=0$

    Mà $|y|+|y-z|+|z|=2$

    $\to 0+|0-z|+|z|=2\to 2|z|=2\to |z|=1\to z=\pm1$

    Nếu $|y|=2\to 2+|y-z|+|z|=2\to |y-z|+|z|=0$

    Mà $|y-z|+|z|\ge 0\to |y-z|=|z|=0\to y=z=0$ loại vì $|y|=2$

    Nếu $|y|=1\to y=\pm1$

    Trường hợp $y=1\to 1+|1-z|+|z|=2$

    $\to |1-z|+|z|=1\to z\in\{0,1\}$

    Trường hợp $y=-1\to 1+|-1-z|+|z|=2$

    $\to |z+1|+|z|=1$

    $\to z\in\{0, -1\}$

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )