tìm giá trị m để bất phương trình $\sqrt{(x+7)(3-x) }$ $\leq$ $x^{2}$+4x+m+2 nghiệm đúng với mọi x ∈ [-7;3]
tìm giá trị m để bất phương trình $\sqrt{(x+7)(3-x) }$ $\leq$ $x^{2}$+4x+m+2 nghiệm đúng với mọi x ∈ [-7;3]
By Melody
By Melody
tìm giá trị m để bất phương trình $\sqrt{(x+7)(3-x) }$ $\leq$ $x^{2}$+4x+m+2 nghiệm đúng với mọi x ∈ [-7;3]
Đặt $t=\sqrt{(x+7)(3-x)}$ với $t \ge 0$
Ta có $t^2=-x^2-4x+21=-(x+2)^2+25\le 25\Rightarrow t\le 5$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=-2$ nằm trong $[-7;3]$. Vậy $0\le t\le 5$
Bất phương trình trở thành $t\le -t^2+23+m\Rightarrow m\ge t^2+t-23$ trong đoạn $t\in[0;5]$
Để bất phương trình luôn có nghiệm đúng $\forall x\in [-7;3]$ thì bất phương trình luôn có nghiệm đúng $\forall t\in[0;5]$
Yêu cầu đề bài tương đương với $m \ge \mathop {\max \left( {{t^2} + t – 23} \right) = 7}\limits_{[0;5]}$
Vậy $m\ge 7$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
`sqrt((x+7)(3-x))≤x^2+4x+m+2(-7≤x≤3)`
Đặt `sqrt(-x^2-4x+21)=t(0≤t≤5)`
`=>t^2+t-23-m ≤0`
`<=>m≥t^2+t-23`
Vẽ bảng biến thiên, ta thấy gtln của `t^2+t-23` trên đoạn `[0;5]` là `7`
`=>m≥7`