Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên khoảng: [-1;2)
(2x-1)²+12+2019m=4$\sqrt[]{x²-x+1,25}$
Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên khoảng: [-1;2) (2x-1)²+12+2019m=4$\sqrt[]{x²-x+1,25}$
By Rose
By Rose
Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên khoảng: [-1;2)
(2x-1)²+12+2019m=4$\sqrt[]{x²-x+1,25}$
Đáp án:
\(\dfrac{2\sqrt{13}-21}{2019}\leqslant m\leqslant \dfrac{-8}{2019}\)
Giải thích các bước giải:
Gọi $\sqrt{x^2-x+1,25}=t$ với $1\leqslant t\leqslant \dfrac{\sqrt{13}}{2}$
$\to$ Phương trình ban đầu trở thành $-4t^2+4t-8=2019m$
Đặt $f(t)=-4t^2+4t-8$
Lập BBT, ta thấy: phương trình có nghiệm trên $[-1;2)\to$ đường thẳng $f(t)=2019m$ cắt DTSH $f(t)=-4t^2+4t-8$ trên $\bigg[1;\dfrac{\sqrt{13}}2\bigg]$
$\to -21+2\sqrt{13}\leqslant 2019m\leqslant -8$
\(\to \dfrac{2\sqrt{13}-21}{2019}\leqslant m\leqslant \dfrac{-8}{2019}\)
Đáp án:
\( – \dfrac{{149}}{{8076}} < m < – \dfrac{8}{{2019}}\).
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}{\left( {2x – 1} \right)^2} + 12 + 2019m = 4\sqrt {{x^2} – x + 1,25} \\ \Leftrightarrow 4{x^2} – 4x + 13 + 2019m = 4\sqrt {{x^2} – x + 1,25} \\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} – x + 1,25} \right) + 8 + 2019m = 4\sqrt {{x^2} – x + 1,25} \end{array}\)
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} – x + 1,25} \Rightarrow {t^2} = {x^2} – x + 1,25\).
Với \(x \in \left[ { – 1;2} \right)\) ta có BBT của \(t\) theo x như sau:
(Tham khảo hình 1)
\( \Rightarrow t \in \left[ {1;\dfrac{{13}}{4}} \right]\).
Khi đó phương trình trở thành:
\(4{t^2} + 8 + 2019m = 4t \Leftrightarrow 4{t^2} – 4t + 8 = – 2019m\) (*)
Để phương trình ban đầu có nghiệm \(x \in \left[ { – 1;2} \right)\) thì phương trình (*) có nghiệm\(t \in \left[ {1;\dfrac{{13}}{4}} \right]\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4{t^2} – 4t + 8\) với \(t \in \left[ {1;\dfrac{{13}}{4}} \right]\) ta có BBT:
(Tham khảo hình 2)
Phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ {1;\dfrac{{13}}{4}} \right]\)
\( \Leftrightarrow 8 < – 2019m < \dfrac{{149}}{4} \Leftrightarrow – \dfrac{{149}}{{8076}} < m < – \dfrac{8}{{2019}}\).
Vậy \( – \dfrac{{149}}{{8076}} < m < – \dfrac{8}{{2019}}\).