Tìm n để bpt (n-3)x^2-(n-2)x+n+3<=0 vô nghiệm

0 bình luận về “Tìm n để bpt (n-3)x^2-(n-2)x+n+3<=0 vô nghiệm”

1. $(n-3)x^2-(n-2)x+n+3$

   Để BPT $(n-3)x^2-(n-2)x+n+3 \le 0$ vô nghiệm thì

   $(n-3)x^2-(n-2)x+n+3>0 \forall \, x(*)$

   $\circledast n=3 (*)\Leftrightarrow -x+n+3>0 \forall \, x(L)\\ \circledast n\ne 3\\ (*)\Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} n-3>0\\ \Delta <0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} n>3\\ (n-2)^2-4(n-3)(n+3) <0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} n>3\\ -3n^2-4n+40<0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} n>3\\ \left[\begin{array}{l} n<\dfrac{-2-2\sqrt{31}}{3}\\ n>\dfrac{-2+2\sqrt{31}}{3}\end{array} \right. \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow  n>\dfrac{-2+2\sqrt{31}}{3}$

   Trả lời

2. Đáp án:

   $n\in \left(\dfrac{-2+2\sqrt{31}}{3};+\infty\right)$

   Giải thích các bước giải:

   $\quad (n-3)x^2 – (n-2)x + n + 3 \leqslant 0$ vô nghiệm

   $\Leftrightarrow (n-3)x^2 – (n-2)x + n + 3>0\quad \forall x\qquad (*)$

   $+)\quad n = 3$

   $(*)\Leftrightarrow – x + 6 > 0\quad \forall x$ (loại)

   $+)\quad n\ne 3$

   $(*)\Leftrightarrow \begin{cases}n-3>0\\\Delta_{(*)}<0\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \begin{cases}n>3\\(n-2)^2 – 4(n-3)(n+3)<0\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \begin{cases}n>3\\3n^2 + 4n – 40>0\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \begin{cases}n>3\\\left[\begin{array}{l}n <\dfrac{-2-2\sqrt{31}}{3}\\ n>\dfrac{-2+2\sqrt{31}}{3}\end{array}\right.\end{cases}$

   $\Leftrightarrow n > \dfrac{-2+2\sqrt{31}}{3}$

   Vậy $n\in \left(\dfrac{-2+2\sqrt{31}}{3};+\infty\right)$

   Trả lời