Tìm nghiệm nguyên của pt 1+x+x^2+x^3+x^4=y^4 x^3-y^3=2xy+8

0 bình luận về “Tìm nghiệm nguyên của pt 1+x+x^2+x^3+x^4=y^4 x^3-y^3=2xy+8”

1. Đáp án: $(x,y)\in\{(-1,1), (-1,-1)\}$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $y^4=x^4+x^3+x^2+x+1$

   $\to 4y^4=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$

   $\to 4y^4=(4x^4+4x^3+x^2)+2x^2+(x^2+4x+4)$

   $\to 4y^4=(2x^2+x)^2+2x^2+(x+2)^2$

   $\to 4y^4>(2x^2+x)^2$

   Lại có:

   $4y^4=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$

   $\to 4y^4=(4x^4+4x^3+x^2)+3x^2+4x+4$

   $\to 4y^4=(2x^2+x)^2+4(2x^2+x)+4-5x^2$

   $\to 4y^4=(2x^2+x+2)^2-5x^2$

   $\to 4y^4<(2x^2+x+2)^2$

   $\to (2x^2+x)^2<4y^4<(2x^2+x+2)^2$

   $\to (2x^2+x)^2<(2y^2)^2<(2x^2+x+2)^2$

   $\to (2y^2)^2=(2x^2+x+1)^2$

   $\to 4y^4=(2x^2+x+1)^2$

   $\to (2x^2+x+1)^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$

   $\to 4x^4+4x^3+5x^2+2x+1=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$

   $\to x^2-2x-3=0$

   $\to (x-3)(x+1)=0$

   $\to x\in\{-1,3\}$

   $\to y^4\in\{1,121\}$

   $\to x=-1, y^4=1\to y=\pm1$

   Trả lời