tìm số nguyên n sao cho n^4 – n^2 + 2n + 2 là số chính phương

0 bình luận về “tìm số nguyên n sao cho n^4 – n^2 + 2n + 2 là số chính phương”

1. Đặt m²=$n^{4}$-n²+2n+2 (m∈Z)

              =($n^{4}$-2n²+1)+(n²+2n+1)

              =(n²-1)²+(n+1)² (chỗ này bạn nhân từ dưới lên là được cái bên trên)

              =(n-1)²(n+1)²+(n+1)² (chỗ này bạn nhân từ dưới lên là được cái bên trên)

              =(n+1)²((n-1)²+1)

              =(n+1)²(n²-2n+1+1)

   ⇒ m²=(n+1)²(n²-2n+2)  (1)

   Do m²; (n+1)² là số chính phương và n²-2n+2∈Z

   Để (1) xảy ra ⇔ n²-2n+2 là số chính phương

   Đặt p²=n²-2n+2 (p∈Z)

             =(n²-2n+1)+1

             =(n-1)²+1 (chỗ này bạn nhân từ dưới lên là được cái bên trên)

   ⇒ p²-(n-1)²=1

   ⇒ (p-n+1)(p+n-1)=1 (chỗ này bạn nhân từ dưới lên là được cái bên trên)

   Do p,n∈Z ⇒ p-n+1∈Z và p+n-1∈Z.

   Xảy ra các trường hợp: p-n+1=p+n-1=1 hoặc p-n+1=p+n-1=-1

   Cả 2 trường hợp đều suy ra được:

   p-n+1=p+n-1 ⇒ (p+n-1)-(p-n+1)=0

                           ⇒ 2n-2=0 ⇒ n=1 (thỏa mãn)

   ⇒ p²=n²-2n+2=1²-2.1+2=1 (thỏa mãn là số chính phương)

   Vậy n=1

   Trả lời

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Xét $n= 0; 1; 2$ ta thấy $n- 2$ thỏa mãn

   Với $n> 2. có: (n^{2}- 1)^{2}< n^{4}- n+ 2< (n^{2}+ 1)^{2}$

   $⇒ n^{4}= n^{4}- n+ 2⇔ n= 2 (loại)$

   Vậy $n= 2$ thì thỏa mãn số cần tìm 

   Trả lời