Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x^3-3mx^2+m^3 có hai điểm cực trị cùng với điểm C(1;7/8) tạo thành một tam giác cân tại C .
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x^3-3mx^2+m^3 có hai điểm cực trị cùng với điểm C(1;7/8) tạo thành một tam giác cân tại C
By Everleigh
Đáp án: $m=\frac{1}{2}$
Giải thích các bước giải:
$\\\text{Ta có: $y’=3x^2-6mx$}$ $\text{$y’=0⇔3x^2-6mx=0⇔3x(x-2m)=0⇔\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=2m\end{array} \right.$}$ $\\\text{Để hàm số có 2 cực trị thì $2m\neq0⇔m\neq0$}$ $\text{Gọi 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A$ và $B$}$ $\\\text{Giả sử: $A(0;m^3), B(2m;-3m^3)$ }$ $\text{Suy ra: $\vec{CA}(-1;m^3-\frac{7}{8}), \vec{CB}(2m-1;-3m^3-\frac{7}{8})$}$ $\\\text{Yêu cầu bài toán tương đương với:}$ $\text{$|\vec{CA}|=|\vec{CB}|$}$ $\\\text{$⇔|\vec{CA}|^2=|\vec{CB}|^2$}$ $\text{$⇔(-1)^2+(m^3-\frac{7}{8})^2=(2m-1)^2+(-3m^3-\frac{7}{8})^2$}$ $\\\text{$⇔1+m^6-\frac{7}{4}m^3+(\frac{7}{8})^2=4m^2-4m+1+9m^6+\frac{21}{4}m^3+(\frac{7}{8})^2$}$ $\text{$⇔8m^6+7m^3+4m^2-4m=0$}$ $\\\text{$⇔m(2m-1)(4m^4+2m^3+m^2+4m+4)=0(*)$}$ $\text{Do $4m^4+2m^3+m^2+4m+4=2m^4+\frac{1}{2}(2m^2+m)^2+\frac{1}{2}(m+2)^2+2$}$ $\\\text{luôn dương với mọi $m$ nên phương trình $(*)$ tương đương với:}$ $\text{\(\left[ \begin{array}{l}m=0(loại)\\m=\frac{1}{2}\end{array} \right.\) }$ $\\\text{Vậy: $m=\frac{1}{2}$}$
Đáp án:
`m=1/2`
Giải thích các bước giải:
Ta có: `y’=3x^2-6mx`
`y’=0 ⇔3x^2-6mx=0⇔ `\(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=2m\end{array} \right.\)
Hàm số có hai điểm cực trị khi `m\ne0`
Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là `A(0;m^3),B(2m;-3m^3)`
Trung điểm của đoạn thẳng `AB` có tọa độ `I(m;-m^3)`
Ta có: $\overrightarrow{AI} =(m;-2m^3),\overrightarrow{CI}=(m-1;-m^3-\frac{7}{8}) $
Tam giác `ABC` cân tại `C` `⇔` $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{CI}=0$
`⇔ m-1+2m^5+7/4m^2=0`
`⇔ (2m-1)(x^4+1/2x^3+1/4x^2+x+1)=0`
`⇔ `\(\left[ \begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2+x+1=0 &(VN)\end{array} \right.\)
`⇔ m=1/2`