Toán tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số 18n+3/21n+7 có thể rút gọn được 21/09/2021 By Abigail tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số 18n+3/21n+7 có thể rút gọn được
$\begin{array}{l}\text{- Đặt $d\in ƯC(18n+3,21n+7)\quad(d\in\mathbb{Z};d\ne0)$}\\\to\begin{cases} 18n+3\ \vdots\ d\\21n+7\ \vdots\ d\end{cases}\\\to\begin{cases} 7(18n+3)\ \vdots\ d\\6(21n+7)\ \vdots\ d\end{cases}\\\to\begin{cases} 126n+21\ \vdots\ d\\126n+42\ \vdots\ d\end{cases}\\\to 21\ \vdots\ d\\\to d\in Ư(21)=\{\pm1;\pm3;\pm7;\pm21\}\\\text{- Để $\dfrac{18n+3}{21n+7}$ rút gọn được thì $d\in\{\pm3;\pm7;\pm21\}\quad$(có thể bỏ $\pm21$)}\\\to\begin{cases}\begin{cases} 18n+3\ \vdots\ 3\\21n+7\ \vdots\ 3\quad\rm(Vô\ lí)\end{cases}\\\begin{cases} 18n+3\ \vdots\ 7\\21n+7\ \vdots\ 7\quad\rm(Luôn\ đúng)\end{cases}\end{cases}\\\to 18n+3\ \vdots\ 7\\\to 3(6n+1)\ \vdots\ 7\\\to 6n+1\ \vdots\ 7\quad\text{(vì 3 và 7 nguyên tố cùng nhau)}\\\to 6n+1+14\ \vdots\ 7\\\to 6n+15\ \vdots\ 7\\\to 3(2n+5)\ \vdots\ 7\\\to 2n+5\ \vdots\ 7\quad\text{(vì 3 và 7 nguyên tố cùng nhau)}\\\to 2n+5+7\ \vdots\ 7\\\to 2n+12\ \vdots\ 7\\\to 2(n+6)\ \vdots\ 7\\\to n+6\ \vdots\ 7\quad\text{(vì 2 và 7 nguyên tố cùng nhau)}\\\to n+6=7k\quad(k\in\mathbb{N}^*)\\\to n=7k-6\\\text{- Vậy với $n=7k-6\ (k\in\mathbb{N}^*)$ thì $\dfrac{18n+3}{21n+7}$ rút gọn được} \end{array}$ Trả lời
$\begin{array}{l}\text{- Đặt $d\in ƯC(18n+3,21n+7)\quad(d\in\mathbb{Z};d\ne0)$}\\\to\begin{cases} 18n+3\ \vdots\ d\\21n+7\ \vdots\ d\end{cases}\\\to\begin{cases} 7(18n+3)\ \vdots\ d\\6(21n+7)\ \vdots\ d\end{cases}\\\to\begin{cases} 126n+21\ \vdots\ d\\126n+42\ \vdots\ d\end{cases}\\\to 21\ \vdots\ d\\\to d\in Ư(21)=\{\pm1;\pm3;\pm7;\pm21\}\\\text{- Để $\dfrac{18n+3}{21n+7}$ rút gọn được thì $d\in\{\pm3;\pm7;\pm21\}\quad$(có thể bỏ $\pm21$)}\\\to\begin{cases}\begin{cases} 18n+3\ \vdots\ 3\\21n+7\ \vdots\ 3\quad\rm(Vô\ lí)\end{cases}\\\begin{cases} 18n+3\ \vdots\ 7\\21n+7\ \vdots\ 7\quad\rm(Luôn\ đúng)\end{cases}\end{cases}\\\to 18n+3\ \vdots\ 7\\\to 3(6n+1)\ \vdots\ 7\\\to 6n+1\ \vdots\ 7\quad\text{(vì 3 và 7 nguyên tố cùng nhau)}\\\to 6n+1+14\ \vdots\ 7\\\to 6n+15\ \vdots\ 7\\\to 3(2n+5)\ \vdots\ 7\\\to 2n+5\ \vdots\ 7\quad\text{(vì 3 và 7 nguyên tố cùng nhau)}\\\to 2n+5+7\ \vdots\ 7\\\to 2n+12\ \vdots\ 7\\\to 2(n+6)\ \vdots\ 7\\\to n+6\ \vdots\ 7\quad\text{(vì 2 và 7 nguyên tố cùng nhau)}\\\to n+6=7k\quad(k\in\mathbb{N}^*)\\\to n=7k-6\\\text{- Vậy với $n=7k-6\ (k\in\mathbb{N}^*)$ thì $\dfrac{18n+3}{21n+7}$ rút gọn được} \end{array}$