Tìm tất cả các tam giác có số đo các cạnh là số nguyên dương và số đo chu vi bằng số đo diện tích
(Ghi rõ từng tam giác và số đo của nó luôn với ạ)
Tìm tất cả các tam giác có số đo các cạnh là số nguyên dương và số đo chu vi bằng số đo diện tích (Ghi rõ từng tam giác và số đo của nó luôn với ạ)
By aihong
Đáp án:Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương). Ta có xy = 2(x + y + z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) Từ (2) suy ra z2 = (x + y)2 – 2xy, thay (1) vào ta có: z2 = (x + y)2 – 4(x + y + z) z2 + 4z = (x + y)2 – 4(x + y) z2 + 4z + 4 = (x + y)2 – 4(x + y) + 4 (z + 2)2 = (x + y – 2)2, suy ra z + 2 = x + y – 2 z = x + y – 4 thay vào 1 ta được: xy = 2(x + y + x + y – 4) xy – 4x – 4y = -8 (x – 4)(y – 4) = 8 = 1.8 = 2.4 Từ đo ta tìm được các giá trị của x, y, z là; (x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z = 13); (x = 6, y = 8, z = 10); (x = 8, y = 6, z = 10).
Giải thích các bước giải:
`text (Gọi x, y, z là các cạnh của Δ vuông ( Điều kiện x, y, z > 0))`
Theo đề ta có: `xy)/2 = x+y+z`
`<=> xy = 2(x+y+z)` (1)
Và `z^2 = x^2 + y^2` (2)
Từ (2) `=> z^2 = x^2 + y^2 – 2xy` thay vào (1)
Ta được: `z^2 = (x+y)^2 – 2*2(x+y+z)`
`<=> (x+y)^2 – 4 (x+y+z)`
`<=> z^2 – 4z = ( x+y)^2 – 4x -4y`
`<=> z^2 + 4z + 4 = (x+y)^2 – 4(x-y) + 4`
`<=> (z+ 2)^2 = (x+y-2)^2`
`<=> z+2 = x+ y+ z – 2`
`<=> z = x+y – 4` thay vào (1)
Ta được: `xy = 2 ( x + y + x + y -4)`
`<=> xy = 4x + 4y -8`
`<=> xy – 4x – 4y = -8`
`<=> xy – 4x – 4y + 16 = -8 + 16`
`<=> (x-4)(y-4)=8`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}(x-4)(y-4) = 1.8)\\(x-4)(y-4) = 2.4)\end{array} \right.\)
`<=> \(\left[ \begin{array}{l}x=5; y = 12\\x=6; y = 8\end{array} \right.\)
`text (Lần lượt áp dụng định lý Py-Ta-go và 2 tam giác ta vừa tìm, ta được:)`
`z_1 = 13 , z_2 = 10`
`text (Vậy chỉ có hai tam giác có số đo các cạnh là số nguyên dương và số đo chu vi bằng số đo diện tích là:)`
`Δ_1 = { 5; 12; 13}`
`Δ_2 = { 6; 8; 10}`