tìm x,y thuộc N sao , sao cho : 4^x = 1 + 3^y

Question

tìm x,y thuộc N sao , sao cho : 4^x = 1 + 3^y

in progress 0
Katherine 5 tháng 2021-07-28T16:25:52+00:00 1 Answers 4 views 0

Answers ( )

    0
    2021-07-28T16:27:18+00:00

    Đáp án:

    $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$

    Giải thích các bước giải:

    Ta có:

    $\begin{array}{l}
    {4^x} = 1 + {3^y}\\
     \Leftrightarrow {\left( {{2^2}} \right)^x} = 1 + {3^y}\\
     \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} – 1 = {3^y}\\
     \Leftrightarrow \left( {{2^x} – 1} \right)\left( {{2^x} + 1} \right) = {3^y}
    \end{array}$

    Do $p$ là số nguyên tố và $x,y\in N$ nên luôn tồn tại $m,n$ sao cho:

    $\left\{ \begin{array}{l}
    {2^x} – 1 = {3^m}\\
    {2^x} + 1 = {3^n}
    \end{array} \right.\left( {m + n = y;m,n \in N};m<n \right)$

    Khi đó:

    $\begin{array}{l}
    {3^n} – {3^m} = 2\\
     \Leftrightarrow {3^m}\left( {{3^{n – m}} – 1} \right) = 2\\
     \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    {3^m} = 1\\
    {3^{n – m}} – 1 = 2
    \end{array} \right.\\
    \left\{ \begin{array}{l}
    {3^m} = 2\left( l \right)\\
    {3^{n – m}} – 1 = 1
    \end{array} \right.
    \end{array} \right.\\
     \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m = 0\\
    n – m = 1
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m = 0\\
    n = 1
    \end{array} \right.
    \end{array}$

    Như vậy ta có:

    $\left\{ \begin{array}{l}
    y = m + n\\
    {2^x} – 1 = {3^m}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    y = 1\\
    x = 1
    \end{array} \right.$

    Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$ là cặp số thỏa mãn đề.

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )