Tính giới hạn sau:
$\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{\sqrt{2x^2-6x+5}-\sqrt[3]{3x^2-9x+7}}{(x-2)^2}$
Nêu rõ các bước tìm đa thức thêm bớt.
Tính giới hạn sau: $\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{\sqrt{2x^2-6x+5}-\sqrt[3]{3x^2-9x+7}}{(x-2)^2}$ Nêu rõ các bước tìm đa thức thêm bớt.
By Julia
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$L=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{2x^2-6x+5}-\sqrt[3]{3x^2-9x+7}}{(x-2)^2}$
Đặt $x-2=t⇒x=t+2$
Vì $x→2$
$⇒(x-2)→0$
$⇒t→0$
$⇒L=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sqrt{2(t+2)^2-6(t+2)+5}-\sqrt[3]{3(t+2)^2-9(t+2)+7}}{t^2}$
$ =\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sqrt{2t^2+2t+1}-\sqrt[3]{3t^2+3t+1}}{t^2}$
$L=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{(\sqrt{2t^2+2t+1}-(t+1))+((t+1)-\sqrt[3]{3t^2+3t+1})}{t^2}$
$ =\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{(\sqrt{2t^2+2t+1}-(t+1))}{t^2}+\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{((t+1)-\sqrt[3]{3t^2+3t+1})}{t^2}$
Đặt vế đầu là $L_1$,vế thứ hai là $L_2$
$L_1=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{(\sqrt{2t^2+2t+1}-(t+1))}{t^2}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{[\sqrt{2t^2+2t+1}-(t+1)][\sqrt{2t^2+2t+1}+(t+1)]}{t^2[\sqrt{2t^2+2t+1}+(t+1)]}$
$L_1=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{(\sqrt{2t^2+2t+1})-(t+1)^2}{t^2[\sqrt{2t^2+2t+1}+(t+1)]}$
$ =\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{t^2}{t^2[\sqrt{2t^2+2t+1}+(t+1)]}$
$ =\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{2t^2+2t+1}+(t+1)}=\dfrac{1}{2}$
$L_2=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{((t+1)-\sqrt[3]{3t^2+3t+1})}{t^2}$
$ =\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{[(t+1)-\sqrt[3]{3t^2+3t+1}][(t+1)^2+(t+1)\sqrt[3]{3t^2+3t+1}+(\sqrt[3]{3t^2+3t+1})^2]}{t^2[(t+1)^2+(t+1)\sqrt[3]{3t^2+3t+1}+(\sqrt[3]{3t^2+3t+1})^2]}$
$t^2[(t+1)^2+(t+1)\sqrt[3]{3t^2+3t+1}+(\sqrt[3]{3t^2+3t+1})^2] : B$
$⇒L_2=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{(t+1)^2-(\sqrt[3]{3t^2+3t+1})^3}{t^2.B}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{t^3}{t^2.B}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{t}{B}=0$
$⇒L=L_1+L_2=\dfrac{1}{2}+0=\dfrac{1}{2}$
Bổ sung tí:
từ chỗ này: $ =\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sqrt{2t^2+2t+1}-\sqrt[3]{3t^2+3t+1}}{t^2}$
ở đây thì thêm bớt một lượng $(h)t$ để trên tử phải xuất hiện một lượng $t^2.u(t)$.
$L=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{(\sqrt{2t^2+2t+1}-h(t))+(h(t)-\sqrt[3]{3t^2+3t+1})}{t^2}$
$ =\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{(\sqrt{2t^2+2t+1}-h(t))}{t^2}+\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{(h(t)-\sqrt[3]{3t^2+3t+1})}{t^2}$
Phân tích vế đầu ra:
$L_1=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{(\sqrt{2t^2+2t+1}-h(t))}{t^2}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{(\sqrt{2t^2+2t+1}-h(t))(\sqrt{2t^2+2t+1}+h(t))}{t^2.(\sqrt{2t^2+2t+1}+h(t))}$
$ =\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{2t^2+2t+1-h^2(t)}{t^2.(\sqrt{2t^2+2t+1}+h(t))}$
Tìm hàm $h(t)$ sao cho $h^2(t)$ xuất hiện trong một lượng $(2t+1)$.
$⇔t^2+2t+1=h^2(t)⇔(t+1)^2=h^2(t)⇒h(t)=t+1$
-.-
Giả sử đa thức thêm bớt có dạng $ax+b$
Mục đích của ta là rút gọn $(x-2)^2$ ở dưới mẫu nên:
$2x^2-6x+5-(ax+b)=(x-2)^2$
$⇔ax+b=2x^2-5x+5-x^2+4x-4=x^2-2x+1=(x-1)^2$
Vậy đa thức thêm bớt của ta là $x-1$ hoặc $1-x$ (chọn 1 trong 2)
Ta cũng có thể tìm đa thức thêm bớt bằng cách giải hệ phương trình
Do đa thức thêm bớt là $ax+b$ nên phương trình
$(ax+b)^2=2x^2-6x+5$ phải có nghiệm kép $x=2$ tức $\Delta=0$ và có 1 nghiệm $x=2$
$ax^2+2abx+b^2=2x^2-6x+5$
$⇔ax^2-2x^2+2abx+6x+b^2-5=0$
$⇔(a-2)x^2+(2ab+6)x+b^2-5=0$
$\Delta’=(ab+3)^2-(a-2)(b^2-5)=0$
Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}(2a+b)^2=2.2^2-6.2+5\\(ab+3)^2-(a-2)(b^2-5)=0\end{matrix}\right.$
Giải hệ trên ta được $a=1,\ b=-1$ hoặc $a=-1,\ b=1$
Vậy đa thức cần thêm bớt là $x-1$ hoặc $1-x$
Ngoài ra nếu học đạo hàm rồi bạn có thể áp dụng quy tắc L’hôpital
Quay lại bài toán, khi đã biết được đa thức thêm bớt thì rất dễ dàng rồi:
$\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{\sqrt{2x^2-6x+5}-\sqrt[3]{3x^2-9x+7}}{(x-2)^2}$
$=\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{\sqrt{2x^2-6x+5}-(x-1)+(x-1)-\sqrt[3]{3x^2-9x+7}}{(x-2)^2}$
$=\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{\sqrt{2x^2-6x+5}-(x-1)}{(x-2)^2}+\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{(x-1)-\sqrt[3]{3x^2-9x+7}}{(x-2)^2}$
$=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\left[\sqrt{2x^2-6x+5}-(x-1)\right]\left[\sqrt{2x^2-6x+5}+(x-1)\right]}{(x-2)^2\left[\sqrt{2x^2-6x+5}+(x-1)\right]}+\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{\left[(x-1)-\sqrt[3]{3x^2-9x+7}\right]\left[(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x^2-9x+7}+(\sqrt[3]{3x^2-9x+7})^2\right]}{(x-2)^2\left[(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x^2-9x+7}+(\sqrt[3]{3x^2-9x+7})^2\right]}$
$=\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{2x^2-6x+5-x^2+2x-1}{(x-2)^2\left[\sqrt{2x^2-6x+5}+(x-1)\right]}+\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{x^3-3x^2+3x-1-3x^2+9x-7}{(x-2)^2\left[(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x^2-9x+7}+(\sqrt[3]{3x^2-9x+7})^2\right]}$
$=\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{x^2-4x+4}{(x-2)^2\left[\sqrt{2x^2-6x+5}+(x-1)\right]}+\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{x^3-6x^2+12x-8}{(x-2)^2\left[(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x^2-9x+7}+(\sqrt[3]{3x^2-9x+7})^2\right]}$
$=\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{(x-2)^2}{(x-2)^2\left[\sqrt{2x^2-6x+5}+(x-1)\right]}+\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{(x-2)^3}{(x-2)^2\left[(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x^2-9x+7}+(\sqrt[3]{3x^2-9x+7})^2\right]}$
$=\lim\limits_{x\to 2} \dfrac1{\sqrt{2x^2-6x+5}+(x-1)}+\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{x-2}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x^2-9x+7}+(\sqrt[3]{3x^2-9x+7})^2}$
$=\dfrac12+0=\dfrac12$