Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua A(4;3) và d tạo với hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích lớn nhất.
Mọi người làm ơn giúp em với ạ. <3
Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua A(4;3) và d tạo với hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích lớn nhất. Mọi người làm ơn giúp em với ạ.
By Emery
Gọi tọa độ giao điểm của $d$ với $Ox$, $Oy$ lần lượt là $A(a,0)$ và $B(0,b)$.
Khi đó, diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng $d$ và hai trục $Ox$ và $Oy$ là
$S = \dfrac{1}{2} ab$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
$2ab \leq a^2 + b^2$
$\Leftrightarrow 4S \leq a^2 + b^2$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $|a| = |b|$.
TH1: $a = b$
Gọi ptrinh đường thẳng là $y = ux + v$
Khi đó giao điểm của đt với trục Ox và Oy lần lượt là $A\left( -\dfrac{v}{u}, 0 \right)$ và $B(0, v)$
Do $a = b$ nên
$v = -\dfrac{v}{u}$
$\Leftrightarrow uv = -v$
$\Leftrightarrow u = -1$ (do $v \neq 0$
Vậy $y = -x + v$
Lại có đt đi qua $A(4,3)$ nên ta có
$3 = -4 + v$
$\Leftrightarrow v = 7$
Vậy đt cần tìm là $y = -x + 7$
TH2: $a = -b$
Gọi ptrinh đường thẳng là $y = ux + v$
Khi đó giao điểm của đt với trục Ox và Oy lần lượt là $A\left( -\dfrac{v}{u}, 0 \right)$ và $B(0, v)$
Do $a = -b$ nên
$v = \dfrac{v}{u}$
$\Leftrightarrow uv = v$
$\Leftrightarrow u = 1$ (do $v \neq 0$
Vậy $y = x + v$
Lại có đt đi qua $A(4,3)$ nên ta có
$3 = 4 + v$
$\Leftrightarrow v = -1$
Vậy đt cần tìm là $y = x -1$