Hai bạn Hòa và Bình bắt đầu chạy thi trên một quãng đường S. Biết Hòa trên nửa quãng đường đầu chạy với vận tốc không đổi v1 và trên nửa quãng đường sau chạy với vận tốc không đổi v2 (v2 < v1). Còn Bình thì trong nửa thời gian đầu chạy với vận tốc v1 và trong nửa thời gian sau chạy với vận tốc v2. a) Tính vận tốc trung bình của mỗi bạn. b) Ai về đích trước? Tại sao
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) gọi nửa quãng đường là s, nửa thời gian là:t
ta có: Vận tốc trung bình của Hòa là: | Vận tốc trung bình của Bình là:
`{2s}/{s/v_1 +s/v_2}` | `{(t.v_1)+(t.v_2)}/{2t}`
`={2v_1v_2}/{v_2 +V_1}` | `{v_1 +v_2}/2`
b) So sánh: `{2v_1v_2}/{v_2 +v_1}` và `{v_1 +v_2}/2`
ta có: `{v_1v_2}/{v_2 +v_1}` và `{v_1 +v_2}/1`
`=>` `{v_1v_2}/{v_2 +v_1}` và `v_1 +v_2`
`=>` `2v_1v_2` và `{v_1 +v_2}^2`
`=>` `2v_1v_2 và v_1^2 +2v_1v_2 +v_2^2`
`=>` `2v_1v_2 < v_1^2 +2v_1v_2 +v_2^2`
Nên Vận tốc của Bình nhanh hơn
`=>` Bình về đích trước.
Hzzz bài này nó dài :<<
Bạn $Hòa$ :
$S_1 = \frac{S}{2} = S_2 $
$⇔ t_1 = \frac{S}{2v_1}$
$⇔ t_2 = \frac{S}{2v_2}$
$⇒ v_{H} = \frac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2} = \frac{S}{\frac{S}{2v_1}+ \frac{S}{2v_2}}$
$⇔ v_H =\frac{S}{\frac{2v_1+2v_2}{2v_1.2v_2}}$
$⇔ v_H = \frac{2v_1.2v_2}{2v_1+2v_2}$
$⇔ v_H = \frac{4v_1.v_2}{2(v_1+v_2)}= \frac{2v_1.v_2}{v_1+v_2}$
Bạn $Bình$ :
Gọi $t$ là thời gian bạn $Bình$ đi qđ $S$ :
$t_1′ = t_2′ = \frac{t}{2}$
$⇔ S_1′ = v_1.\frac{t}{2}$
$⇔ S_2′ = v_2.\frac{t}{2}$
$⇒ v_B = \frac{S_1′ + S_2′ }{t_1′ + t_2′} = \frac{v_1. \frac{t}{2} + v_2 . \frac{t}{2}}{t}$
$⇔ v_B = \frac{\frac{t}{2}(v_1 + v_2)}{t}$
$⇒ v_B = \frac{v_1+v_2}{2}$
b)Để xác đinh $Hòa$ hay $Bình$ thì , ta lấy $v_H – v_B$
Nếu $v_H – v_B > 0 $
Tức là $Hòa$ về trước
Còn nếu $v_H – v_B < 0 $
Thì $Bình $ về trước
Vậy Ta lấy $v_H – v_B$
$⇔ \frac{2v_1.v_2}{v_1+v_2} – \frac{v_1+v_2}{2}$
$⇔ \frac{4v_1v_2 – (v_1 + v_2 )^2}{2(v_1+v_2)}$
$⇔ \frac{-v_1^2 + 2v_1v_2 – v_2^2}{2(v_1+v_2)}$
$⇔ \frac{-(v_1^2 – 2v_1v_2 + v_2^2)}{2(v_1 + v_2 )}$
$⇔ \frac{-( v_1 – v_2 ) ^2}{2(v_1+v_2)}$
Mà $-(v_1 – v_2)^2 < 0 $ và $2(v_1+v_2) > 0 $
$⇒ v_H – v_B < 0 $
Vậy $Bình$ đến trước $Hòa$