Một chiếc ống bằng gỗ có dạng hình trụ rỗng chiều cao h = 10cm, bán kính trong R1 = 8cm, bán kính ngoài R2 = 10cm. Khối lượng riêng của gỗ làm ống là D1 = 800kg/m3, ống không thấm nước và xăng.
a) Ban đầu người ta dán kín một đầu bằng nilon mỏng (đầu này được gọi là đáy). Đổ đầy xăng vào ống rồi nhẹ nhàng đẩy ống xuống nước theo phương thẳng đứng sao cho xăng không tràn ra ngoài. Tìm chiều cao phần nổi của ống biết khối lượng riêng của xăng là D2 = 750kg/m3, của nước là D0 = 1000kg/m3.
b) Đổ hết xăng ra khỏi ống, bóc đáy nilon đi và đặt ống trở lại trong nước theo phương thẳng đứng, sau đó từ từ đổ xăng vào ống. Tìm khối lượng xăng tối đa có thể đổ vào trong ống.
Đáp án:
a) \(x = 2,32cm\)
b) \(1,2kg\)
Giải thích các bước giải:
a) Gọi x là chiều cao phần nổi của ống.
Khi ống cân bằng, ống chịu tác dụng của hai lực: lực đẩy Acsimet với trọng lượng của xăng và ống.
\({F_A} = \pi R_2^2\left( {h – x} \right).{D_0}.10\)
Trọng lượng của ống:
\({P_1} = \pi \left( {R_2^2 – R_1^2} \right)h{D_1}.10\)
Trọng lượng của xăng trong ống.
\({P_2} = \pi R_1^2h{S_2}.10\)
Theo đề ta có:
\(\begin{array}{l}
{F_A} = {P_1} + {P_2}\\
\Leftrightarrow \pi R_2^2\left( {h – x} \right).{D_0} = \pi \left( {R_2^2 – R_1^2} \right)h{D_1} + \pi R_1^2h{S_2}\\
\Leftrightarrow x\pi R_2^2{D_0} = h\left( {\pi R_2^2{D_0} + \pi R_1^2{D_1} – \pi R_1^2{D_2} – \pi R_2^2{D_1}} \right)\\
\Rightarrow x = h\left( {1 + \dfrac{{{D_1}}}{{{D_0}}}{{\left( {\dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}}} \right)}^2} – \dfrac{{{D_2}}}{{{D_0}}}{{\left( {\dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}}} \right)}^2} – \dfrac{{{D_1}}}{{{D_0}}}} \right)\\
\Rightarrow x = h\left( {1 – \dfrac{{{D_1}}}{{{D_0}}} + \left( {\dfrac{{{D_1}}}{{{D_0}}} – \dfrac{{{D_2}}}{{{D_0}}}} \right){{\left( {\dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}}} \right)}^2}} \right)\\
\Rightarrow x = 2,32cm
\end{array}\)
b) Khi thả ống vào nước (đã bóc đáy ), ống nổi.
Gọi chiều cao của phần nổi bây giờ là \({x_1}\).
\({F_A}’ = \pi \left( {R_2^2 – R_1^2} \right)\left( {h – {x_1}} \right).{D_0}.10\)
Trọng lượng của ống:
\({P_1} = \pi \left( {R_2^2 – R_1^2} \right)h{D_1}.10\)
Theo đề ta có: Lực đẩy Acsimet = trọng lượng của ống.
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \pi \left( {R_2^2 – R_1^2} \right)\left( {h – {x_1}} \right).{D_0} = \pi \left( {R_2^2 – R_1^2} \right)h{D_1}\\
\Rightarrow {x_1} = \dfrac{{{D_0}h – {D_1}h}}{{{D_0}}} = h\left( {1 – \dfrac{{{D_1}}}{{{D_0}}}} \right) = 2cm
\end{array}\)
Lúc đổ xăng vào ống thì các lực theo phương thẳng đứng tác dụng lên ống không bị thay đổi, nên phần nổi của ống ở ngoài không khí vẫn là x1 =2cm. xăng sẽ đẩy bớt nước ra khỏi ống.
Gọi x2 là chiều cao của cột xăng trong ống.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{P_M} = {P_0} + \left( {h – {x_1}} \right){D_0}.10\\
{P_N} = {P_0} + {x_2}{D_2}.10 + \left( {h – {x_2}} \right).{D_0}.10
\end{array}\)
Áp suất tại 2 điểm M, N bằng nhau:
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {P_0} + \left( {h – {x_1}} \right){D_0}.10 = {P_0} + {x_2}{D_2}.10 + \left( {h – {x_2}} \right).{D_0}.10\\
\Rightarrow {D_0}h – {D_0}{x_1} = \left( {{D_2} – {D_0}} \right){x_2} + {D_0}h\\
\Rightarrow {x_2} = {x_1}\dfrac{{{D_0}}}{{{D_2} – {D_0}}} = h\dfrac{{{D_0} – {D_1}}}{{{D_0} – {D_2}}} = 8cm
\end{array}\)
Khối lượng xăng trong ống là:
\({m_x} = \pi R_1^2{x_2}{D_2} \approx 1,2kg\)