Một ô tô đi từ A đến B trên nửa quãng đường đầu đi với vận tốc v1, nửa quãng đường còn lại với vận tốc v2 . Cùng lúc đó một ô tô khác từ B đến A nửa thời đầu đi với v1, nửa thời gian còn lại với v2.
a) Hỏi xe nào đến địa điểm đã định trước
b)Với v1= 20km/h,v2=60km/h,AB=60km. Xác định vị trí hai xe gặp nhau
a) Vận tốc trung bình của xe đi từ A trên cả quãng đường là :
Vtb1 = ( 2.v1.v2 ) : ( v1 + v2 )
Vận tốc ttrung bình của xe đi từ B trên cả quãng đường là :
Vtb2 = ( v1 + v2 ) : 2
Lấy Vtb1 – Vtb2 < 0
→ Vtb1 < Vtb2
→ Xe đi từ B đến địa điểm đã định trước
b) Độ dài mỗi nửa đường là 30 km
Thời gian xe đi từ A đi hết nửa đường đầu là:
30 : 20 = 1,5 giờ
Thời gian xe đi từ B đi hết cả quãng đường là :
60 : 40 = 1,5 giờ
→ Hai xe gặp nhau ở nửa đầu của đoạn đường
Mỗi nửa thời gian xe đi từ B đi là:
1,5 : 2 = 0,75 giờ
Quãng đường xe đi từ B đi được trong nửa thời gian đầu là;
0,75 x 20 = 15 km
Quãng đường xe đi từ A đi được trong 0,75 giờ là:
0,75 x 20 = 15 km
Gọi thời gian 2 xe đi từ lúc mỗi xe cách vị trí xuất phát của mình 15km đến khi 2 xe gặp nhau là t giờ
Ta có: 20t + 60t = 30
→ t = 0,375 giờ
Vị trí hai xe gặp nhau cách A là :
15 + 0,375 x 20 = 22,5 km
Đáp án:
a. Xe 2 tới điểm đã định trước.
b. Cách A 22,5km, cách B 37,5km
Giải thích các bước giải:
a. Vận tốc trung bình của mỗi xe là:
$\begin{array}{l}
{v_{t{b_1}}} = \dfrac{s}{{{t_1} + {t_2}}} = \dfrac{s}{{\dfrac{s}{{2{v_1}}} + \dfrac{s}{{2{v_2}}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{2{v_1}}} + \dfrac{1}{{2{v_2}}}}} = \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}\\
{v_{t{b_2}}} = \dfrac{{{s_1} + {s_2}}}{t} = \dfrac{{{v_1}.\dfrac{t}{2} + {v_2}.\dfrac{t}{2}}}{t} = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2}
\end{array}$
Ta có:
${v_{t{b_2}}} – {v_{t{b_1}}} = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2} – \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}} = \dfrac{{{{\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}^2} – 4{v_1}{v_2}}}{{2\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {{v_1} – {v_2}} \right)}^2}}}{{2\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}$
Mà $\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {{v_1} – {v_2}} \right)^2} \ge 0\\
{v_1},{v_2} > 0 \Rightarrow 2\left( {{v_1} + {v_2}} \right) > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {{v_1} – {v_2}} \right)}^2}}}{{2\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow {v_{t{b_2}}} – {v_{t{b_2}}} \ge 0$
Vậy nên vận tốc trung bình của người hai nhanh hơn vận tốc trung bình của người thứ nhất nên người thứ hai sẽ tới địa điểm định trước.
b. Vận tốc trung bình của mỗi xe là:
$\begin{array}{l}
{v_{t{b_1}}} = \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}} = \dfrac{{2.20.60}}{{20 + 60}} = 30km/h\\
{v_{t{b_2}}} = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2} = \dfrac{{20 + 60}}{2} = 40km/h
\end{array}$
Thời gian đầu đi quảng đường của xe 2 là:
${t_2}’ = \dfrac{t}{2} = \dfrac{s}{{2{v_{t{b_2}}}}} = \dfrac{{60}}{{2.40}} = 0,75h$
Thời gian đi hết quãng đường đầu của xe 1 là:
${t_1}’ = \dfrac{s}{{2{v_1}}} = \dfrac{{60}}{{2.20}} = 1,5h$
Quãng đường xe 2 đi nữa thời gian đầu là:
${s_2}’ = {v_1}.{t_2}’ = 20.0,75 = 15km$
Khoảng cách của 2 xe lúc này là:
$\Delta s = s – 2{s_2}’ = 60 – 2.15 = 30km$
Giả sử nơi gặp nhau của xe nằm ở vị trí chưa đến vị trí đi được nữa quãng đường của xe 1 cũng có nghĩa là khi gặp nhau xe 1 khi ấy chưa chuyển sang vận tốc v2 = 60km/h khi đó ta có:
$t’ = \dfrac{{\Delta s}}{{{v_1} + {v_2}}}\dfrac{{30}}{{20 + 60}} = 0,375h$
Nơi gặp nhau của hai người lúc này cách B:
${s_B} = {s_2} + {s_2}’ = {v_2}.t’ + {s_2}’ = 60.0,375 + 15 = 37,5km$
Vậy nơi gặp nhau của hai người lúc này cách A:
${s_A} = s – {s_B} = 60 – 37,5 = 22,5km$
Để nơi gặp nhau của hai người ở nơi cách A 22,5km thì vận tốc của người 1 phải là:
${s_A} – {s_2}’ = {v_A}.t’ \Leftrightarrow {v_A} = \dfrac{{22,5 – 15}}{{0,375}} = \dfrac{{7,5}}{{0,375}} = 20km/h = {v_1}$
Vậy giả thiết nơi gặp nhau của xe nằm ở vị trí chưa đến vị trí đi được nữa quãng đường của xe 1 cũng có nghĩa là khi gặp nhau xe 1 khi ấy chưa chuyển sang vận tốc v2 = 60km/h đúng nên vị trí gặp nhau của hai người là cách A 22,5km và cách B 37,5km