(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=2.tìm a,b,c biết a<=b<=c

0 bình luận về “(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=2.tìm a,b,c biết a<=b<=c”

1. Đáp án:

    (a;b;c) = (2;4;15); (2;5;9); (2;6;7); (3;4;5); (3;3;8)

   Giải thích các bước giải:

    Vì a≤b≤c nên $\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{b}$≥$\frac{1}{c}$ 

   ⇒ 1+$\frac{1}{a}$ ≥ 1+$\frac{1}{b}$ ≥ 1+$\frac{1}{c}$ > 0

   ⇒ 2 = (1+$\frac{1}{a}$)(1+$\frac{1}{b}$)(1+$\frac{1}{c}$) ≤ $(1+\frac{1}{a})^{3}$ 

   ⇒ $(1+\frac{1}{a})^{3}$ ≥ 2

   Nếu a≥4 thì $(1+\frac{1}{a})^{3}$ = $\frac{125}{64}$ < 2 (không thỏa mãn)

   ⇒ a ≤ 3

   * Trường hợp 1: Nếu a=1 thì ta có:

   (1+$\frac{1}{b}$)(1+$\frac{1}{c}$) = 1

   (không thỏa mãn vì 1+$\frac{1}{b}$, 1+$\frac{1}{c}$ > 1)

   * Trường hợp 2: Nếu a=2 thì ta có:

   $\frac{3}{2}$.(1+$\frac{1}{b}$)(1+$\frac{1}{c}$) = 2

   ⇔ (1+$\frac{1}{b}$)(1+$\frac{1}{c}$) = $\frac{4}{3}$ 

   Lại có 1+$\frac{1}{b}$ ≥ 1+$\frac{1}{c}$

   ⇒ $\frac{4}{3}$ = (1+$\frac{1}{b}$)(1+$\frac{1}{c}$) ≤ $(1+\frac{1}{b})^{2}$ 

   Nếu b≥7 thì $(1+\frac{1}{b})^{2}$ ≤ $(1+\frac{1}{7})^{2}$ < $\frac{4}{3}$ (không thỏa mãn)

   ⇒ b≤6

   + Nếu b=2 ⇒ $\frac{3}{2}$.(1+$\frac{1}{c}$) = $\frac{4}{3}$

   ⇒ (1+$\frac{1}{c}$) = $\frac{8}{9}$ < 1 (không thỏa mãn)

   + Tương tự, ta lần lượt xét các trường hợp b=3;4;5;6 vào và nhận được các giá trị thỏa mãn là:

   (b;c)=(4;15); (5;9); (6;7)

   * Trường hợp 3: Nếu a=3 thì ta có:

   $\frac{4}{3}$.(1+$\frac{1}{b}$)(1+$\frac{1}{c}$) = 2

   ⇒ (1+$\frac{1}{b}$)(1+$\frac{1}{c}$) = $\frac{3}{2}$

   Lại có 1+$\frac{1}{b}$ ≥ 1+$\frac{1}{c}$

   ⇒ $(1+\frac{1}{b})^{2}$ ≥ $\frac{3}{2}$

   Nếu b ≥ 5 thì $(1+\frac{1}{5})^{2}$ < $\frac{3}{2}$ (không thỏa mãn)

   ⇒ b ≤ 4 mà a=3 và a≤b nên b=3 hoặc b=4

   + Nếu b=3 thì ta tìm được c=8

   + Nếu b=4 thì ta tìm được c=5

   Vậy  (a;b;c) = (2;4;15); (2;5;9); (2;6;7); (3;4;5); (3;3;8)

   Bình luận