√(x+1)+√(3−x)=2√(−x2+2x+m)Tìm tất cả cả giá trị của m để pt có nghiệm 18/08/2021 Bởi Aaliyah √(x+1)+√(3−x)=2√(−x2+2x+m)Tìm tất cả cả giá trị của m để pt có nghiệm
Đáp án: \[1 \le m \le \frac{{65}}{{16}}\] Giải thích các bước giải: ĐKXĐ: \( – 1 \le x \le 3\) Ta có: \(\begin{array}{l}\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 – x} = 2\sqrt { – {x^2} + 2x + m} \\ \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 – x} \right)} + 3 – x = 4\left( { – {x^2} + 2x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 4 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 – x} \right)} = 4\left( { – {x^2} + 2x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 2 + \sqrt { – {x^2} + 2x + 3} = 2.\left( { – {x^2} + 2x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 2.\left( { – {x^2} + 2x + m} \right) – \sqrt { – {x^2} + 2x + 3} – 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2.\left( { – {x^2} + 2x + 3} \right) – \sqrt { – {x^2} + 2x + 3} + \left( {2m – 8} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\t = \sqrt { – {x^2} + 2x + 3} \,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\\ – {x^2} + 2x + 3 = – \left( {{x^2} – 2x + 1} \right) + 4 = 4 – {\left( {x – 1} \right)^2} \le 4\\ \Rightarrow t = \sqrt { – {x^2} + 2x + 3} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le t \le 2\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{t^2} – t + 2m – 8 = 0\\ \Leftrightarrow – 2m = 2{t^2} – t – 8\\2{t^2} – t – 8 = 2.\left( {{t^2} – \frac{1}{2}t + \frac{1}{{16}}} \right) – \frac{{65}}{8} = 2.{\left( {t – \frac{1}{4}} \right)^2} – \frac{{65}}{8} \ge – \frac{{65}}{8}\\2{t^2} – t – 8 = t\left( {2t – 1} \right) – 8 \le 2.\left( {2.2 – 1} \right) – 8 = 2.3 – 8 = – 2\\ \Rightarrow – \frac{{65}}{8} \le – 2m \le – 2\\ \Leftrightarrow 1 \le m \le \frac{{65}}{{16}}\end{array}\) Vậy \(1 \le m \le \frac{{65}}{{16}}\) thì phương trình đã cho có nghiệm. Bình luận
Đáp án:
\[1 \le m \le \frac{{65}}{{16}}\]
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \( – 1 \le x \le 3\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 – x} = 2\sqrt { – {x^2} + 2x + m} \\
\Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 – x} \right)} + 3 – x = 4\left( { – {x^2} + 2x + m} \right)\\
\Leftrightarrow 4 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 – x} \right)} = 4\left( { – {x^2} + 2x + m} \right)\\
\Leftrightarrow 2 + \sqrt { – {x^2} + 2x + 3} = 2.\left( { – {x^2} + 2x + m} \right)\\
\Leftrightarrow 2.\left( { – {x^2} + 2x + m} \right) – \sqrt { – {x^2} + 2x + 3} – 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2.\left( { – {x^2} + 2x + 3} \right) – \sqrt { – {x^2} + 2x + 3} + \left( {2m – 8} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
t = \sqrt { – {x^2} + 2x + 3} \,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\\
– {x^2} + 2x + 3 = – \left( {{x^2} – 2x + 1} \right) + 4 = 4 – {\left( {x – 1} \right)^2} \le 4\\
\Rightarrow t = \sqrt { – {x^2} + 2x + 3} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le t \le 2\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{t^2} – t + 2m – 8 = 0\\
\Leftrightarrow – 2m = 2{t^2} – t – 8\\
2{t^2} – t – 8 = 2.\left( {{t^2} – \frac{1}{2}t + \frac{1}{{16}}} \right) – \frac{{65}}{8} = 2.{\left( {t – \frac{1}{4}} \right)^2} – \frac{{65}}{8} \ge – \frac{{65}}{8}\\
2{t^2} – t – 8 = t\left( {2t – 1} \right) – 8 \le 2.\left( {2.2 – 1} \right) – 8 = 2.3 – 8 = – 2\\
\Rightarrow – \frac{{65}}{8} \le – 2m \le – 2\\
\Leftrightarrow 1 \le m \le \frac{{65}}{{16}}
\end{array}\)
Vậy \(1 \le m \le \frac{{65}}{{16}}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.