1. Cho 2 số a, b thỏa mãn a + b = 1
Chứng minh rằng: a^ 3 + b^ 3 >= 1/2
2. Chứng minh rằng với mọi a, b ta có:
a^ 2 + 5b^ 2 – ( 3a + b ) >= 3ab – 5
3. Giả sử a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: a^ 2+ b^ 2 + c^ 2 < 2( ab + bc + ca )
Đáp án:
a, `a^3+b^3<=1/4`
b, `a^ 2+5b^ 2-( 3a + b )>=3ab-5`
c, `a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)`
Giải thích các bước giải:
a, Ta có:
`a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)`
`=a^2-ab+b^2>=\frac{(a+b)^2}{2}-\frac{(a+b)^2}{4}`
`=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}` (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi `a=b=1/2`
b, Ta có:
`a^2+5b^2-(3a+b)>=3ab-5`
`<=>2a^2+10b^2-6a-2b-6ab+10>=0`
`<=>(a-3b)^2+(a-3)^2+(b-1)^2>= 0` (luôn đúng)
`=>` Đpcm
c, Ta có:
`a^2+b^2+c^2<ab+bc+ab+ac+ac+bc=2(ab+bc+ca)` (đpcm)