1.cho a+b>=c>=0 cmr a^4+b^4>=c^4/8 2. chứng minh với mọi số thực a,b luôn có a^2+b^2>=1/2(a+b)^2 và ab>=1/4(a+b)^2 20/11/2021 Bởi Sadie 1.cho a+b>=c>=0 cmr a^4+b^4>=c^4/8 2. chứng minh với mọi số thực a,b luôn có a^2+b^2>=1/2(a+b)^2 và ab>=1/4(a+b)^2
Giải thích các bước giải: 1.Ta có :$a^4+b^4=(a^2)^2+(b^2)^2\ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}$ $\to a^4+b^4\ge \dfrac{(\dfrac{(a+b)^2}{2})^2}{2}$ $\to a^4+b^4\ge \dfrac{(a+b)^4}{8}$ $\to a^4+b^4\ge \dfrac{c^4}{8}$ 2.Ta có :$(a-b)^2\ge 0,\quad\forall ,a,b$ $\to a^2-2ab+b^2\ge 0$$\to a^2+b^2\ge 2ab$ $\to 2(a^2+b^2)\ge a^2+b^2+2ab$ $\to 2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2$ $\to a^2+b^2\ge \dfrac12(a+b)^2$ Lại có : $a^2+b^2\ge 2ab$ $\to a^2+b^2+2ab\ge 4ab$ $\to (a+b)^2\ge 4ab$ $\to ab\le\dfrac14(a+b)^2$ Bình luận
Giải thích các bước giải:
1.Ta có :
$a^4+b^4=(a^2)^2+(b^2)^2\ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$\to a^4+b^4\ge \dfrac{(\dfrac{(a+b)^2}{2})^2}{2}$
$\to a^4+b^4\ge \dfrac{(a+b)^4}{8}$
$\to a^4+b^4\ge \dfrac{c^4}{8}$
2.Ta có :
$(a-b)^2\ge 0,\quad\forall ,a,b$
$\to a^2-2ab+b^2\ge 0$
$\to a^2+b^2\ge 2ab$
$\to 2(a^2+b^2)\ge a^2+b^2+2ab$
$\to 2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2$
$\to a^2+b^2\ge \dfrac12(a+b)^2$
Lại có :
$a^2+b^2\ge 2ab$
$\to a^2+b^2+2ab\ge 4ab$
$\to (a+b)^2\ge 4ab$
$\to ab\le\dfrac14(a+b)^2$