1, cho a,b,c là các số dương. Tìm GTNN của:
a,A=$\frac{a}{b+c}$ + $\frac{b}{c+a}$ + $\frac{c}{a+b}$
b,B=$\frac{a}{b+c}$ + $\frac{b+c}{a}$ + $\frac{b}{a+c}$ + $\frac{a+c}{b}$ + $\frac{c}{a+b}$ + $\frac{a+b}{c}$
2,a, Tìm GTLN của tích xy với x,y là các số dương , y ≥60 và x+y=100
b, Tìm GTLN của tích xyz với x,y,z là các số dương , z ≥60 và x+y+z=100
3, Tìm GTLN của A=/x-y/ + /x-z/ + /y-z/ với 0 ≤x,y,z ≤3
/x-y/ NGHĨA LÀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA x-y NHÉ
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) Áp dụng cô si cho 3 số:
$(x + y + z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) ≥ 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{z}} = 9$
a) $ A + 3 = \dfrac{a}{b + c} + 1 + \dfrac{b}{c + a} + 1 + \dfrac{c}{a + b} + 1$
$ = \dfrac{a + b + c}{b + c} + \dfrac{a + b + c}{c + a}+ \dfrac{a + b + c}{a + b}$
$ = (a + b + c)(\dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + a}+ \dfrac{1}{a + b}) $
$ ⇒ 2A + 6 = (2a + 2b + 2c)(\dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + a}+ \dfrac{1}{a + b})$
$ [(a + b) + (b + c) + (c + a)](\dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + a}+ \dfrac{1}{a + b}) ≥ 9$
$ ⇒ 2A ≥ 3≥ ⇒ A ≥ \dfrac{3}{2}$
Vậy $GTNN$ của $A = \dfrac{3}{2} ⇔ a = b = c$
b) Đặt $: C = \dfrac{b + c}{a} + \dfrac{c + a}{b}+ \dfrac{a + b}{c}$
$ ⇔ C + 3 = \dfrac{b + c}{a} + 1 + \dfrac{c + a}{b} + 1 + \dfrac{a + b}{c} + 1$
$ = \dfrac{a + b + c}{a} + \dfrac{a + b + c}{b}+ \dfrac{a + b + c}{c}$
$ = (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c}) ≥ 9$
$ ⇒ C ≥ 6$
Vậy $GTNN$ của $C = 6 ⇔ a = b = c$
$ ⇒ B = A + C ≥ \dfrac{3}{2} + 6 = \dfrac{15}{2}$
Vậy $GTNN$ của $B = \dfrac{15}{2} ⇔ a = b = c$
2)
a) $y ≥ 60 ⇔ y – 60 ≥ 0 (1)$
$ x + y = 100 ⇔ x = 100 – y ≤ 100 – 60 = 40 ⇔ x – 40 ≤ 0 (2)$
$ (1).(2) : (x – 40)(y – 60) ≤ 0$
$ ⇔ xy – 60x – 40y + 2400 ≤ 0$
$ ⇔ xy ≤ 60(x + y) – 2400 – 20y ≤ 60.100 – 2400 – 20.60 = 2400$
Vậy $GTLN$ của $xy = 2400 ⇔ x = 40; y = 60$
b) Áp dụng kết quả câu a) có:
$ (x + y)z ≤ 2400 ⇔ x + y ≤ \dfrac{2400}{z} ≤ \dfrac{2400}{60} = 40$
Áp dụng cô si cho 2 số: $ xy ≤ \dfrac{1}{4}(x + y)² $
$ ⇒ xyz ≤ \dfrac{1}{4}(x + y)²z = \dfrac{1}{4}(x + y)[(x + y)z] $
$ ≤ \dfrac{1}{4}.40.2400 = 24.000$
Vậy $GTLN$ của $xyz = 24.000 ⇔ x = y = 20; z = 60$
3) $x; y; z$ có vai trò như nhau nên không mất tính
tổng quát có thể giả thiết $:0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤3$
$ ⇒ |x – y| = y – x; |x – z| = z – x; |y – z| = z – y$
$ ⇒ A = (y – x) + (z – x) + (z – y) = 2(z – x) ≤ 2(3 – 0) = 6$
Vậy $GTLN$ của $A = 6 ⇔ x = 0; 0 ≤ y ≤ 3; z = 3$
và các hoán vị