1, cho a,b,c là các số dương. Tìm GTNN của: a,A=$\frac{a}{b+c}$ + $\frac{b}{c+a}$ + $\frac{c}{a+b}$ b,B=$\frac{a}{b+c}$ + $\frac{b+c}{a}$ + $\frac{b}{

1, cho a,b,c là các số dương. Tìm GTNN của:
a,A=$\frac{a}{b+c}$ + $\frac{b}{c+a}$ + $\frac{c}{a+b}$
b,B=$\frac{a}{b+c}$ + $\frac{b+c}{a}$ + $\frac{b}{a+c}$ + $\frac{a+c}{b}$ + $\frac{c}{a+b}$ + $\frac{a+b}{c}$
2,a, Tìm GTLN của tích xy với x,y là các số dương , y ≥60 và x+y=100
b, Tìm GTLN của tích xyz với x,y,z là các số dương , z ≥60 và x+y+z=100
3, Tìm GTLN của A=/x-y/ + /x-z/ + /y-z/ với 0 ≤x,y,z ≤3
/x-y/ NGHĨA LÀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA x-y NHÉ

0 bình luận về “1, cho a,b,c là các số dương. Tìm GTNN của: a,A=$\frac{a}{b+c}$ + $\frac{b}{c+a}$ + $\frac{c}{a+b}$ b,B=$\frac{a}{b+c}$ + $\frac{b+c}{a}$ + $\frac{b}{”

  1. Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    1) Áp dụng cô si cho 3 số:

    $(x + y + z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) ≥ 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{z}} = 9$

    a) $ A + 3 = \dfrac{a}{b + c} + 1 + \dfrac{b}{c + a} + 1 + \dfrac{c}{a + b} + 1$

    $ = \dfrac{a + b + c}{b + c} + \dfrac{a + b + c}{c + a}+ \dfrac{a + b + c}{a + b}$

    $ = (a + b + c)(\dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + a}+ \dfrac{1}{a + b}) $

    $ ⇒ 2A + 6 = (2a + 2b + 2c)(\dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + a}+ \dfrac{1}{a + b})$

    $ [(a + b) + (b + c) + (c + a)](\dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + a}+ \dfrac{1}{a + b}) ≥ 9$

    $ ⇒ 2A ≥ 3≥ ⇒ A ≥ \dfrac{3}{2}$

    Vậy $GTNN$ của $A = \dfrac{3}{2} ⇔ a = b = c$

    b) Đặt $: C = \dfrac{b + c}{a} + \dfrac{c + a}{b}+ \dfrac{a + b}{c}$

    $ ⇔ C + 3 = \dfrac{b + c}{a} + 1 + \dfrac{c + a}{b} + 1 + \dfrac{a + b}{c} + 1$

    $ = \dfrac{a + b + c}{a} + \dfrac{a + b + c}{b}+ \dfrac{a + b + c}{c}$

    $ = (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c}) ≥ 9$

    $ ⇒ C ≥ 6$

    Vậy $GTNN$ của $C = 6 ⇔ a = b = c$

    $ ⇒ B = A + C ≥ \dfrac{3}{2} + 6 = \dfrac{15}{2}$

    Vậy $GTNN$ của $B = \dfrac{15}{2} ⇔ a = b = c$

    2)

    a) $y ≥ 60 ⇔ y – 60 ≥ 0 (1)$

    $ x + y = 100 ⇔ x = 100 – y ≤ 100 – 60 = 40 ⇔ x – 40 ≤ 0 (2)$

    $ (1).(2) : (x – 40)(y – 60) ≤ 0$

    $ ⇔ xy – 60x – 40y + 2400 ≤ 0$

    $ ⇔ xy ≤ 60(x + y) – 2400 – 20y ≤ 60.100 – 2400 – 20.60 = 2400$

    Vậy $GTLN$ của $xy = 2400 ⇔ x = 40; y = 60$

    b) Áp dụng kết quả câu a) có:

    $ (x + y)z ≤ 2400 ⇔ x + y ≤ \dfrac{2400}{z} ≤ \dfrac{2400}{60}  = 40$

    Áp dụng cô si cho 2 số: $ xy ≤ \dfrac{1}{4}(x + y)² $

    $ ⇒ xyz ≤ \dfrac{1}{4}(x + y)²z = \dfrac{1}{4}(x + y)[(x + y)z] $

    $ ≤ \dfrac{1}{4}.40.2400 = 24.000$

    Vậy $GTLN$ của $xyz = 24.000 ⇔ x = y = 20; z = 60$

    3) $x; y; z$ có vai trò như nhau nên không mất tính

    tổng quát có thể giả thiết $:0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤3$

    $ ⇒ |x – y| = y – x; |x – z| = z – x; |y – z| = z – y$

    $ ⇒ A = (y – x) + (z – x) + (z – y) = 2(z – x) ≤ 2(3 – 0) = 6$

    Vậy $GTLN$ của $A = 6 ⇔ x = 0; 0 ≤ y ≤ 3; z = 3$

    và các hoán vị

     

    Bình luận

Viết một bình luận