1. Cho các số thực x,y thỏa mãn 00

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

ách 1 : Ta có x + y + x + y

= x + y + √3( +  (vì x, y > 0)

Theo gt thì 0 < x; y < 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ; 1 – y² và ; 1 – x²

ta có :

2 ≤  + (1 – y² ) ; 2 ≤  + (1 – x²)

=> 2( + ) ≤  + (1 – y² ) +  + (1 – x²)

=  – x² – y² +  + 2 = 

=>  +  ≤ 

=> x + y + √3( +  ≤

x + y + (x² + y² ) + √3

Mặt khác (x – y)² ≥ 0 ⇔ x² + y² ≥ 2xy ⇔ 2(x² + y² ) ≥ (x + y)²

⇔ (x² + y²) ≤ (x + y)²

=> x + y + √3( +  ≤ x + y + (x + y)² + √3

= (x + y)² + 2√3.(x + y) +  + 

= [(x + y)² – 2√3(x + y) + 3 ] +  (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =  (thỏa mãn ĐK 0< x ; y < 1)

Cách 2 : BĐT tương đương 9 – 2√3x – 2√3y – 2√3.x – 2√3y. ≥ 0

⇔ 2x² – 2√3x +  + y² – 2√3y +  + x² – 2√3x + 3 – 3y² + y² – 2√3.y. + 3 – 3x² ≥ 0

⇔ 2(x – )² + 2(y – )² + (x – )² + (y – )²

≥ 0 luôn đúng

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =  (thỏa mãn ĐK 0< x ; y < 1)