1. Cho các số thực x,y thỏa mãn 00 thỏa mãn $x^{2}$+ $y^{2}$ = 2. Tính:
P= $\frac{x^{2}}{\sqrt[]{y}}$ + $\frac{y^{2}}{\sqrt[]{x}}$
0 bình luận về “1. Cho các số thực x,y thỏa mãn 0<x<1, 0<y<1
Chứng minh rằng x+y+x$\sqrt[]{1-y^{2}}$ +y$\sqrt[]{1-x^{2}}$ $\leq$ $\frac{3\sqrt[]{3} }{2}$ .
Cho x.y>0”
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
ách 1 : Ta có x + y + x+ y
= x + y + √3(+(vì x, y > 0)
Theo gt thì 0 < x; y < 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương; 1 – y2và; 1 – x2
ta có :
2≤+ (1 – y2) ; 2≤+ (1 – x2)
=> 2(+) ≤+ (1 – y2) ++ (1 – x2)
=– x2– y2++ 2 =
=>+≤
=> x + y + √3(+≤
x + y +(x2+ y2) + √3
Mặt khác (x – y)2≥ 0 ⇔ x2+ y2≥ 2xy ⇔ 2(x2+ y2) ≥ (x + y)2
⇔(x2+ y2) ≤(x + y)2
=> x + y + √3(+≤ x + y +(x + y)2+ √3
=(x + y)2+ 2√3.(x + y) ++
=[(x + y)2– 2√3(x + y) + 3 ] +(đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =(thỏa mãn ĐK 0< x ; y < 1)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
ách 1 : Ta có x + y + x + y
= x + y + √3( + (vì x, y > 0)
Theo gt thì 0 < x; y < 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ; 1 – y2 và ; 1 – x2
ta có :
2 ≤ + (1 – y2 ) ; 2 ≤ + (1 – x2)
=> 2( + ) ≤ + (1 – y2 ) + + (1 – x2)
= – x2 – y2 + + 2 =
=> + ≤
=> x + y + √3( + ≤
x + y + (x2 + y2 ) + √3
Mặt khác (x – y)2 ≥ 0 ⇔ x2 + y2 ≥ 2xy ⇔ 2(x2 + y2 ) ≥ (x + y)2
⇔ (x2 + y2) ≤ (x + y)2
=> x + y + √3( + ≤ x + y + (x + y)2 + √3
= (x + y)2 + 2√3.(x + y) + +
= [(x + y)2 – 2√3(x + y) + 3 ] + (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = (thỏa mãn ĐK 0< x ; y < 1)
Cách 2 : BĐT tương đương 9 – 2√3x – 2√3y – 2√3.x – 2√3y. ≥ 0
⇔ 2x2 – 2√3x + + y2 – 2√3y + + x2 – 2√3x + 3 – 3y2 + y2 – 2√3.y. + 3 – 3x2 ≥ 0
⇔ 2(x – )2 + 2(y – )2 + (x – )2 + (y – )2
≥ 0 luôn đúng
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = (thỏa mãn ĐK 0< x ; y < 1)