1. Cho các số thực x,y thỏa mãn 00

1. Cho các số thực x,y thỏa mãn 00 thỏa mãn $x^{2}$+ $y^{2}$ = 2. Tính:
P= $\frac{x^{2}}{\sqrt[]{y}}$ + $\frac{y^{2}}{\sqrt[]{x}}$

0 bình luận về “1. Cho các số thực x,y thỏa mãn 0<x<1, 0<y<1 Chứng minh rằng x+y+x$\sqrt[]{1-y^{2}}$ +y$\sqrt[]{1-x^{2}}$ $\leq$ $\frac{3\sqrt[]{3} }{2}$ . Cho x.y>0”

  1. Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    ách 1 : Ta có x + y + x + y

    = x + y + √3( +  (vì x, y > 0)

    Theo gt thì 0 < x; y < 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ; 1 – y2  ; 1 – x2

    ta có :

    2   + (1 – y2 ) ; 2   + (1 – x2)

    => 2( + ) ≤  + (1 – y2 ) +  + (1 – x2)

    =  – x2 – y2 +  + 2 = 

    =>  +   

    => x + y + √3( +  

    x + y + (x2 + y2 ) + √3

    Mặt khác (x – y)2 ≥ 0 ⇔ x2 + y2 ≥ 2xy ⇔ 2(x2 + y2 ) ≥ (x + y)2

     (x2 + y2) ≤ (x + y)2

    => x + y + √3( +  ≤ x + y + (x + y)2 + √3

    = (x + y)2 + 2√3.(x + y) +  + 

    = [(x + y)2 – 2√3(x + y) + 3 ] +  (đpcm)

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =  (thỏa mãn ĐK 0< x ; y < 1)

    Cách 2 : BĐT tương đương 9 – 2√3x – 2√3y – 2√3.x – 2√3y. ≥ 0

    ⇔ 2x2 – 2√3x +  + y2 – 2√3y +  + x2 – 2√3x + 3 – 3y2 + y2 – 2√3.y. + 3 – 3x2 ≥ 0

    ⇔ 2(x – )2 + 2(y – )2 + (x – )2 + (y – )2

    ≥ 0 luôn đúng

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =  (thỏa mãn ĐK 0< x ; y < 1)

    Bình luận

Viết một bình luận